МІНІСТЕРСТВО
ОСВІТИ УКРАЇНИ

 КИЇВСЬКИЙ
НАЦІОНАЛЬНИЙ
ЕКОНОМІЧНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ

 Кафедра
менеджменту

 КУРСОВА
РОБОТА

 на
тему “Математичні
моделі й методи
обгрунтування
управлінських
рішень, сфери
їх використання
в управлінській
діяльності”

Студента
III курсу,
спец. 6201/1-2

Нечитайла
Дмитра Сергійовича

Науковий
керівник Барабась
Дмитро Олександрович

Дата
здачі роботи
на

Перевірку
та рецензування

25
жовтня 1999 року

Реєстраційний
номер 2

Курсова
робота

захищена
з оцінкою “_____”

Дата
захисту____________

Комісія
по захисту у
складі:

_______________________ ______

_______________________ ______

_______________________ ______

КИЇВ
1999

 ЗМІСТ

Вступ.
…………………………………………………………………………….
с. 3


Моделі
і методи прийняття
управлінських
рішень……………. с.
5



Математичні
моделі і методи
прийняття
рішень………………. с.
13



Застосування
математичних
моделей і методів
в практиці
управління………………………………………………………………..
с. 24


Висновки………………………………………………………………………….
с. 27
Вступ.

Кожен
день нам доводиться
вирішувати
безліч питань:
чи варто придбати
ту чи іншу річ,
як розподілити
сімейний бюджет,
що з’їсти
на обід або чи
варто вдягати
теплий одяг?
І кожен з нас
незалежно від
віку і статі
намагається
знайти якомога
раціональнішу
відповідь на
те чи інше питання,
бо від цього
залежатимуть
всі подальші
наслідки. Кожен
в житті приходить
до відповідей
на ці питання
різними шляхами:
хтось читає
гороскоп, хтось
кидає монету,
хтось радиться
з другом, а дехто
йде навмання.

Майже
кожну мить
хтось із нас
робить те, що
прийнято називати
прийняттям
рішення. Це
поняття вживають
у повсякденній
лексиці при
вирішенні
соціально-побутових
проблем, але
в цій роботі
я намагатимусь
розкрити сутність
цього поняття
з управлінської
точки зору.
Метою моєї
роботи насамперед
є довести те,
що одним з
найважливіших
інструментів
сучасного
менеджера є
вміння оперувати
математикою
поряд з управлінськими
науками, те, що
для запобігання
проблем в бізнесі
менеджер повинен
мати уяву про
безліч методів
для вирішення
тієї чи іншої
проблеми.

Завдання
моєї роботи
– дати відповіді
на питання :
для чого менеджери
приймають
рішення, як
відбувається
процес прийняття
рішення, які
методи вживаються
при прийнятті
рішень, що являють
собою математичні
моделі в сфері
прийняття
управлінських
рішень та яким
чином ці моделі
можуть вживатися
на практичному
рівні?

На
сьогодняшній
день різні
світові літературні
видання пропонують
читачам дуже
велике різномаїття
книжок та періодичних
видань присв’ячених
теорії та практиці
прийняття
рішень. При
написанні цієї
роботи я звертався
як до класиків
американського
менеджменту
(Мескон М.Х., Альберт
М., Хедоурі Ф.,
Еддоус М., Стенсфілд
Р. і т. ін), так і
до сучасних
вітчизняних
та російських
авторів (Трояновський
В.М., Шарапов
О.Д., Беспалов
Б.А. і т. ін). Хочу
відзначити,
що на мій погляд
праці американських
авторів більш
легкіші до
сприйняття
та місцями
мають описово-пізнавальний
характер, тоді
коли вітчизняні
та російські
видання викладені
в більшості
у науковому
стилі, хоча
огляд математичних
моделей у вітчизняних
книжках представлено
більш складно
та поглиблено.
Це свідчить
про глибокий
аналіз тих
теоретичних
засад, які сформовані
американським
менеджментом.
Американські
автори будують
свої твори
таким чином,
щоб вони були
доступні для
всіх рангів
управління,
а також для
широкого кола
читачів, в той
час коли вітчизняні
науковці схиляються
до формалізованого
викладення.

Наприклад
всім відомий
американський
підручник
“Основи Менеджменту”
(Мескон М.Х. та
інші) освітлює
питання про
моделі прийняття
управлінських
рішень на мій
погляд не досить
глибоко. Ігрові
методи показані
на прикладах
декількох
матриць і те
ж стосується
експертних
методів. Такий
підхід на мою
думку непогано
сприяє засвоєнню
матеріалу, але
не дає змоги
молодим менеджерам
або просто
зацікавленим
особам здійснити
якісь практичні
заходи, використовуючи
цей метод. Особисто
мені дуже сподобався
підручник В.М.
Трояновського
“Математичне
моделювання
в менеджменті”.
Тут перелічені
всі можливі
моделі й методи
математичного
розв’язку
управлінських
і економічних
задач, приведені
конкретні
приклади впровадження
методів у життя,
а також приклади
побудови моделей.
Недоліки цього
підручнику
– надто конспективний
характер і те,
що він розрахований
на читача, який
вже має досить
поглиблені
знання з теорії
прийняття
рішень, а також
добре вміє
оперувати
знаннями з
вищої математики,
теорії ймовірностей
і статистики.

Хотілося
б відзначити,
що проблема
прийняття
управлінських
рішень не дуже
добре освітлена
в українських
періодичних
виданнях. Я
спробую пояснити
чому. По-перше,
тому, що процес
прийняття
рішень повинен
бути унікальним
для кожної
фірми і мало
хто з менеджерів
хотів би освітлювати
свої особисті
підходи, а по-друге,
процес прийняття
рішень повинен
враховувати
фактори, які
є індивідуальними
для кожної
ситуації, і
тому навряд
чи обмін досвідом
допоможе прийняти
вірне рішення.
Найчастіше
в періодичних
виданнях освітлюються
проблеми управління
персоналом,
мотивації
підлеглих,
побудови доскональної
організаційної
структури, а
не стратегії
прийняття
управлінських
рішень.

Перед
тим як перейти
до викладення
основного плану
цієї роботи,
я хотів би розглянути
ще один підручник
американських
авторів М. Еддоуса
та Р. Стенсфілда
“Методи прийняття
рішень”, який
на мою думку
повинен викликати
інтерес у менеджерів,
які схильні
до застосування
математичної
методології
в прийнятті
рішень. Автори
дуже доступно
описують всі
необхідні
теоретичні
засади з векторної
алгебри, лінійного
програмування,
теорії ігор,
імітаційних
моделей, математичної
статистики
та інших наук
необхідних
для вільного
оперування
моделями прийняття
рішень. Матеріал
підручника
легко сприймається
навіть при
недостатній
озброєності
математико-статистичними
знаннями.

Для
більш наочного
сприйняття
матеріалу в
своїй роботі
я буду використовувати
математичні
формули, матриці,
статистичні
таблиці, діаграми
та інші об’єкти.

1. Моделі
і методи прийняття
управлінських
рішень.

При
прийнятті
рішень в практиці
управління
постає питання
про задачу
прийняття
рішень. Отже
спробуємо
з’ясувати
навіщо менеджери
приймають
рішення і чого
вони таким
чином досягають.

Задача
прийняття
рішень спрямована
на визначення
найкращого
(оптимального)
або сприятливого
способу дій
для досягнення
однієї або
декількох
цілей. Під ціллю
розуміється
в широкому
смислі ідеальне
уявлення бажаного
стану чи результату
діяльності
[3, c.11].
Бажаний
стан чи результат
для особи, що
приймає рішення
може означати
прибуток фірми,
заволодіння
долею ринку,
подолання
конкурентної
боротьби, зниження
собівартості
продукції тощо.
Найчастіше
у житті трапляється
так, що бажаний
стан дещо віддалений
або взагалі
відсутній і
той стан який
існує в конкретний
момент прийнято
називати фактичним
станом, тобто
тим, що не залежить
від волі особи,
яка приймає
рішення (ОПР).
Отже, якщо фактичний
стан не відповідає
бажаному стану,
то має місце
проблемна
ситуація,
або проблема,
виробітка плану
подолання якої
і складає сутність
задачі прийняття
рішень.

Проблемна
ситуація може
виникати за
умов коли:


функціонування
управлінської
системи в певний
момент часу
не забезпечую
досягнення
бажаних цілей
організації;

функціонування
цієї системи
не може забезпечити
досягнення
цих цілей і в
майбутньому;

система
вимагає докорінних
змін поставлених
цілей.


Виявлення
проблемної
ситуації являє
собою 1-й етап
процесу прийняття
рішень. Для
того, щоб не
забігати наперед,
слід зробити
перелік всіх
етапів цього
процесу, лише
після чого
перейти до
розгляду власне
методології
процесу. Таким
чином процес
прийняття
управлінських
рішень складається
з наступних
етапів:


 ДІАГНОЗ
ПРОБЛЕМИ


  


НАКОПИЧЕННЯ
ІНФОРМАЦІЇ
З ПРОБЛЕМИ


  


РОЗРОБКА
АЛЬТЕРНАТИВНИХ
ВАРІАНТІВ


 


 ОЦІНКА
АЛЬТЕРНАТИВНИХ
ВАРІАНТІВ


 


 ПРИЙНЯТТЯ
РІШЕННЯ
Рис.1

Другий
етап процесу
прийняття
рішень – це
накопичення
інформації
з проблеми, а
саме збирання
відомостей
щодо проблеми,
яка вирішується.
На третьому
етапі при опрацюванні
альтернатив
менеджер повинен
враховувати
такі вимоги
як взаємовиключність
альтернатив
та забезпечення
однакових умов
описування
альтернатив.
Коли на 4-му етапі
ми підходимо
до оцінки
альтернатив,
то наші альтернативи
повинні умовно
пройти крізь
“3 сита”:


Чи
є альтернатива
реалістичною?

Чи
відповідає
альтернатива
можливостям
організації?

Чи
є прийнятливими
наслідки реалізації
альтернативи?


Тепер,
коли описані
всі етапи процесу
прийняття
рішень, слід
визначити саме
поняття прийняття
рішення: прийняття
рішення
– це порівняння
альтернатив
за очікуваними
ефектами їх
реалізації
на закладі
критеріїв етапу
діагнозу проблеми
і прийняття
остаточного
рішення [4, лекція
№3].

Кінцевим
результатом
задачі прийняття
рішень являється
рішення.
Із змістовної
точки зору
рішенням може
бути курс дії,
спосіб дії,
план роботи,
варіант проекту
тощо. Рішення
являється одним
з видів розумової
діяльності
і волевиявлення
людини.

Перед
тим як перейти
до розгляду
моделей та
методів прийняття
управлінських
рішень, слід
зазначити, що
не кожен метод
може застосовуватись
в будь-якій
ситуації. Тобто
кожне рішення
або кожна задача
прийняття
рішення може
вирішуватися
в різних умовах.
Для визначення
цих умов слід
провести класифікацію
задач прийняття
рішень за різними
ознаками (ступінь
визначенності
інформації,
зміст рішень,
направленість
рішень тощо),
серед яких нас
найбільше
цікавить ступінь
визначеності
інформації
– ступінь повноти
і достовірності
даних, необхідних
для прийняття
рішеннь. За
ступенем повноти
визначеності
інформації
задачі прийняття
рішень класифікують
на три групи:


задачі
в умовах визначеності;

задачі
в умовах ймовірнісної
визначеності;

задачі
в умовах невизначеності.


Отже,
для кожної
групи умов в
практиці управління
використовуються
та чи інша
методологія.

Прийняття
рішень в умовах
визначеності
провадяться
при наявності
повної і достовірної
інформації
щодо проблемної
ситуації, умов
рішень і наслідках
його реалізації.
Для даного
класу задач
прийняття
рішень немає
необхідності
довизначати
проблемну
ситуацію
гіпотетичними
ситуаціями.
Цілі і обмеження
формально
визначаються
у вигляді цільових
функцій. Критерій
вибору обирається
у вигляді мінімума
або максимума
цільової функції.
Наявність
переліченої
інформації
дозволяє побудувати
формальну
математичну
модель задачі
прийняття
рішень і здійснити
знаходження
оптимального
рішення алгоритмічним
шляхом без
втручання
людини. Для
вирішення цього
класу задач
прийняття
рішень застосовуються
різні методи
оптимізації,
наприклад,
методи математичного
програмування:
лінійного,
нелінійного,
динамічного.

Задачі
прийняття
рішень в умовах
невизначеності
безпосередньо
пов’язані з
управлінськими
рішеннями. Для
цих задач характерна
більша неповнота
і недостовірність
інформації,
багатоманіття
і складність
впливу різних
факторів соціального,
економічного,
політичного
та іншого характеру.
Ці обставини
не дозволяють,
по крайній мірі
в теперішній
час, побудувати
адекватні
математичні
моделі вирішення
задач по визначенню
оптимального
рішення. Тому
активну роль
в пошуці оптимального
або сприятливого
рішення виконує
людина.

Математичні
моделі, що
розглядаютсяв
задачах прийняття
рішень в умовах
визначеності
та ймовірнісної
визначеності,
описують найпростіші
ситуації, характерні
для функціонування
технічних
систем. Тому
задачі даного
класу широко
застосовуються
для синтезу
управління
в автоматичних
системах і
мають дуже
посереднє
відношення
до задач прийняття
управлінських
рішень в організаційних
системах [7, с.21].
Я насмілюсь
зауважити, що
точка зору
автора стосовно
сфери застосування
математичних
моделей є дещо
невірною або
застарілою.
В якості аргументу
я приведу вислів
зі статті “Quantitive
Methods
For
Organizational
Decision-Making”
(“Кількісні
методи організаційного
прийняття
рішень”) американського
сучасного
вченого Гарі
Барфута в оригіналі:
“Mathematical
data
and
quantitive
methods
can
be
an
aid
and
beneficial
in
determining
the
best
opinion»
– “математичні
дані та кількісні
методи можуть
дуже добре
допомогти у
визначенні
найкращої
думки”.

Як
я вже зазначав
раніше, кожен
управлінець
для прийняття
оптимального
рішення використовує
свою методологію.
Звичайно не
можна стверджувати,
що скільки
менеджерів,
стільки й методів
прийняття
рішень. Це твердження
було б варним,
коли б ми випустили
з нього словосполучення
“методів прийняття”.
В теорії менеджменту
існує досить
багато класифікацій
даних методів.
Оскільки глибоке
пояснення
кожного методу
не є завданням
цієї роботи,
я лише наведу
перелік цих
методів з коротким
описанням,
посилаючись
на класифікацію
з точки зору
ступеню влади
управлінців
в організації.
На мій погляд
такий підхід
до класифікації
методів прийняття
рішень є всеохоплюючим,
тобто під кожен
з цих методів
може бути
застосований
метод за іншим
класифікаційним
підходом
(статистичні,
математичні
і т. ін.).

Таким
чином за даною
клафікацією
виділяють такі
методи прийняття
управлінських
рішень:


Прийняття
рішення владою
без колективного
обговорення;


Переваги: більше
застосовується
для вирішення
питань адміністративного
характеру;
корисний для
простих рутинних
питань, вирішення
яких потребує
мало часу і
тоді коли виконавцям
не вистачає
досвіду та
інформації
для прийняття
для прийняття
рішення іншим
шляхом.

Недоліки:
одна
особа не завжди
є гарним джерелом
для прийняття
рішення; не
використовуються
ресурси інших
виконавців.


Рішення,
що приймається
експертом.


Переваги:
корисний тоді,
коли рішення,
що приймається
експертом має
значно більшу
цінність, ніж
рішення всього
колективу;

Недоліки:
важко
дізнатися, хто
є експертом;
втрачаються
переваги групової
активності.


Прийняття
рішення усередненням
індивідуальних
думок. 
Переваги:
корисний,
коли важко
зібрати
весь колектив
для


обговорення,
бо питання
є терміновим;

Недоліки:

неполагодженість
думок, відсутня
можливсть
обмінюватись
думками.


Прийняття
рішення владою
після групового
обговорення.


Переваги:
використовуються
всі колективні
ресурси на
відміну від
попередніх
методів;

Недоліки:
не дає гарантії
впровадження
групового
рішення, членам
групи невідомо,
якого рішення
чекає керівник;


Прийняття
рішення меншістю.


Переваги:
може
використовуватися,
коли неможливо
зустрітися
для прийняття
групового
рішення;

Недоліки:
не дає виходу
для реалізації
можливостей
більшості
членів групи.


Прийняття
рішення більшістю
голосів.


Переваги:
може
використовуватись,
коли не вистачає
часу для узгодженості
голосів;

Недоліки:
майже
завжди залишається
незадоволена
меншість колективу,
що в майбутньому
загрожує груповій
ефективності.


Прийняття
рішення узгодженням
голосів.


Переваги:
продукує
новаторське
творче рішення,
використовує
ресурси всього
колективу,
корисне при
прийнятті
серйозних,
важливих та
складних рішень.

Недоліки:
потребує багато
часу, психологічної
напруги та
високої кваліфікації
виконавців.

[10,
пер. з англ. Н.Д.]

Коли
я зазначав про
універсальність
такої класифікації,
я мав на увазі,
що незалежно
від вибору
будь-якого з
вищеназваних
методів, ОПР
може застосовувати
методи класифікації
нижчого ступеню
(математичні,
статистичні,
аналітичні,
теоретико-ігрові
тощо) в залежності
від характеру
питання, яке
вирішується.

Деякі
науковці вважають,
що не слід плутати
саме методи
прийняття
управлінських
рішень з методами
їх обгрунтування.
Якщо дотримуватись
такої точки
зору, то можна
сказати, що
вищеперелічені
методи відносяться
до методів
прийняття
рішень (інколи
їх ще називають
стилями прийняття
рішень), а методи
обгрунтування
управлінських
рішень використовують
якісь формалізовані
моделі і мають
іншу класифікацію.
Посилаючись
на лекцію №4
Соболя С.М. нижче
приведена схема
такої класифікації
(Див. Рис.2). Згідно
з даною схемою
методи обгрунтування
управлінських
рішень підрозділяються
на дві основні
групи: кількісні
та якісні методи.
До якісних
методів відносяться
лише експертні
методи, а решта
методів (класифікація
за ступенем
визначеності)
відноситься
до кількісних.
Якщо заторкнути
тему даної
роботи, то виникає
питання, які
з цих методів
прийнято вважати
математичними?
В.М. Трояновський
в своїй книзі
“Математичне
моделювання
в менеджменті”
дає математичне
обгрунтування
для всіх методів
прийняття
рішень.


 МЕТОДИ
ОБГРУНТУВАННЯ
УПРАВЛІНСЬКИХ
РІШЕНЬ


  

     


 КІЛЬКІСНІ
МЕТОДИ

 ЯКІСНІ
МЕТОДИ


   


ЕКСПЕРТНІ

 МЕТОДИ

МЕТОДИ
В УМОВАХ ВИЗНАЧЕ-
НОСТІ

МЕТОДИ
В УМОВАХ ЙМОВІР-НІСНОЇ
ВИЗНАЧЕ-НОСТІ

МЕТОДИ
В УМОВАХ НЕВИЗНА-ЧЕНОСТІ


    


АНАЛІТИЧНІ
МЕТОДИ

МЕТОДИ
ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
ТА МЕТОДИ СТАТИСТИКИ

ТЕОРЕТИКО-ІГРОВІ
МЕТОДИ ТА МЕТОДИ
СТАТИСТИЧНИХ

РІШЕНЬ


  

  


МЕТОДИ
МАТЕМАТИЧНОГО
ПРОГРАМУВАННЯ


   

 (Рис.
2).

До
математичних
методів згідно
його слів відносяться
і експерті
методи, і статистичні,
і методи прогнозування,
і методи лінійного
програмування
та багато інших.
Всі вони будуть
досконально
розглянути
в наступному
пункті плану.
Поки що коротко
розглянемо
кожен з методів,
вказаних на
схемі.


Аналітичні
методи. Вони
характеризуються
тим, що встановлюють
аналітичні
(функціональні)
залежності
між умовами
вирішення
задач прийняття
рішень та їх
результатами.
(Напр. методи
економічного
аналізу діяльності
фірм).

Статистичні
методи. Іх
характерною
рисою є врахування
випадкових
впливів та
відхилень. Ці
методи дозволяють
отримувати
з накопичуваної
інформації,
яка здається
хаотичною,
основні тенденції
та закономірності.
Ця група охоплює
методи теорії
ймовірностей
та математичної
статистики.
Найбільш широко
використовуються
такі методи,
як кореляційний
аналіз, факторний
аналіз, дисперсійний
аналіз, методи
статистичного
контролю якості
та надійності
продукції.

Методи
математичного
програмування.
Застосовуються
при рішенні
умовних екстремальних
задач з багатьма
змінними.

Теоретико-ігрові
методи та методи
статистичних
рішень. Теорія
статистичних
рішень використовується,
коли невизначеність
ситуації викликана
об’єктивними
обставинами,
які або невідомі,
або носять
випадковий
характер. Метод
теорії ігор
використовується
в тих випадках,
коли невизначеність
ситуації викликана
свідомими
діями розумного
противника
[4, Лекція №4].


До загального
огляду методів
обгрунтування
управлінських
рішень я хотів
би додати, що
використання
цих методів
ще може залежати
від технології,
яку застосовує
ОПР при прийнятті
рішень. На мою
думку, якщо
рішення приймається
за раціональною
технологією
або процесом
(див. рис. 2), то
тоді використання
вищеназваних
методів буде
доцільним.
Навпаки, якщо
при прийнятті
рішення використовується
інтуітивна
технологія
(реєстрація
змін -> селекція
рішень, що містяться
в пам’яті суб’єкта
управління
-> прийняття
рішення) з точки
зору поведінкової
моделі або
менеджер використовує
ірраціональну
модель, то ці
методи навряд
чи знайдуть
своє місце. Як
при використанні
інтуітивної
технології
поведінкової
моделі, так і
при використанні
ірраціональної
моделі, у менеджера
не вистачить
часу для застосування
вищевказаних
методів, або
якщо це стосуватиметься
принципово
нових рішень,
то може виявитися
неможливість
побудови моделі
прийняття
рішень за якимось
з цих методів.

Для кращого
розуміння
термінології
слід вказати
різницю понять
моделі та
методу прийняття
рішень. Модель
– це все те, що
образно представляє
якийсь об’єкт
чи процес і
використовується
для аналізу
або вивчення
цього об’єкту
чи процесу.
Наприклад:
глобус – модель
Землі, іграшкова
машинка – модель
автомобілю,
цільова функція
– модель якогось
економічного
процесу тощо.
Що стосується
поняття терміну
“метод”, то це
всі ті дії, які
при вивченні
моделі застосовує
людина для
досягнення
якогось результату.
Умовний приклад
може бути наступним:
“Менеджер
побудував
математичну
модель з проблемної
ситуації. Він
використовує
симплекс-метод
для знаходження
оптимального
рішення – мінімізація
витрат виробництва
(результат
впровадження
методу по конкретній
моделі)”.

В загальновідомому
підручнику
“Основи менеджменту”
автори дають
наступну класифікацію
моделей прийняття
управлінських
рішень:


Фізична
модель;

Аналогова
модель;

Математична
модель.


По Мескону
фізична модель
представляє
те, що досліджується,
за допомогою
збільшеного
чи зменшеного
описання об’єкту
або системи.
Автомільні
та авіаційні
підприємства
завжди виготовляють
фізичні зменшені
копії нових
засобів пересування.
Будучи точною
копією, модель
повинна поводити
себе аналогічно
автомобілю
чи літаку, що
виготовляється,
але при цьому
коштує вона
значно менше.
Таким самим
чином будівельна
компанія завжди
будує мініатюрну,
перед тим як
розпочати
будівництво
виробничого
чи адміністративного
корпусу або
складу.

Аналогова
модель представляє
об’єкт, що
досліджується
аналогом, який
поводить себе
як реальний
об’єкт, але не
виглядає як
такий. Приклад
аналогової
моделі – організаційна
схема. Вибудовуючи
її, керівництво
в стані легко
уявити собі
ланцюги проходження
команд і формальну
залежність
між індивідами
та діяльністю.
Така аналогова
модель звичайно
більш простий
і ефективний
спосіб сприйняття
і прояву складних
взаємозв’язків
структури
великої організації,
ніж, припустимо,
складання
переліку
взаємозв’язків
всіх робітників.
Інший приклад
аналогової
моделі – графік,
що показує
залежність,
між кількістю
виробленої
фарби та витратами
з розрахунку
на 1 галон) (див.
рис. 3).

  

2,70

 


2,60


2,50


2,40


2,30


2,20


2,10


2,00

          

1000 2000 3000
4000 5000 6000 7000 

Рис.3 – Аналогова
модель.

[5, c.225].

Даний графік,
що ілюструє
саме аналогову
модель, показує
яким чином
рівень виробництва
на підприємстві
впливає на
витрати.

Іншими за
класифікацією
йдуть математичні
моделі. Але
оскільки це
безпосередньо
пов’язано з
темою даної
роботи, то про
математичні
моделі більш
детально буде
викладено у
відповідному
розділі курсової
роботи.

2. Математичні
моделі і методи
прийняття
рішень. 


Епоха
застосування
математичних
моделей прийняття
управлінських
рішень розпочалася
після 2-ї світової
війни. Поява
та розповсюдження
ЕОМ зробило
можливим використання
математичних
моделей для
рішення економічних
задач, починаючи
від перевезення
одного продукту
в масштабах
району і закінчуючи
моделюванням
національної
економіки.
Починають
розроблятися
моделі міст,
ринків , війн,
так звані глобальні
моделі розвитку
всесвіту. Якщо
модель побудована
і її створювачі
вірять в її
адекватність,
то вона використовується
для вирішення
різних задач
– прогнозування,
прийняття
простих і складних
рішень. Як правило,
застосування
математичних
моделей пов’язане
з використанням
ОЕМ. Математичні
моделі в теперішній
час претендують
на роль універсального
засобу вирішення
будь-яких проблем.

В
математичній
моделі, яку
інколи називають
символічною,
викоритовуються
символи для
описання властивостей
або характеристик
об’єкту чи
події.
Приклад математичної
моделі і її
аналітичної
сили як засобу,
що допомагає
нам зрозуміти
виключно складні
проблеми, — відома
формула Ейнштейна
E=mc2
. Якби Ейнштейн
не зміг побудувати
цю математичну
модель, в якій
символи замінюють
реальність,
малоймовірно,
щоб у фізиків
з’явилася
навіть віддалена
ідея про взаємозв’язок
матерії та
енергії. Математичні
моделі відносяться
до типу моделей,
що найчастіше
використовуються
при прийнятті
організаційних
рішень [5,
с.226].

Для
кращого розуміння
сутності економічних
моделей, я зроблю
деталізований
огляд основних
серед них з
наведенням
конкретних
прикладів та
малюнків.

Як
вже зазначалось
вище, модель
задачі прийняття
рішень зводиться
до знаходження
оптимуму. Серед
оптимізаційних
задач дуже
відомими є
задачі лінійного
програмування.
Задачами лінійного
програмування
являються такі
оптимізаційні
задачі, в котрих
цільова функція
і функціональні
обмеження –
лінійні функції,
що приймають
будь-які значення
з деякої множини
значень. Стандартна
задача лінійного
програмування
записується
у вигляді:

   (I)

В задачі
лінійного
програмування
нестрогі
функціональні
нерівності
можна перетворити
в строгі рівності,
прибавивши
невідомі невід’ємні
додаткові
змінні. Звичайно,
число невідомих
і число рівнянь
в системі може
бути різним.
Але й в цьому
випадку для
системи рівнянь
відомі можливі
варіанти: система
може бути несумісною,
тобто не мати
рішень взагалі;
рішення може
бути одне, але
(!) це єдине рішення
може виявитися
неприпустимим
з-за наявності
від’ємних
компонент в
рішенні; рішень
може бути нескінченно
багато. Взагалі
для єдиності
рішення задачі
лінійного
програмування
не вимагається
рівності числа
змінних та
числа обмежень.
Для задач лінійного
програмування
розроблені
багаточисельні
ефективні
методи вирішення
і відповідне
математичне
забезпечення
для різноманітних
ситуацій [8, с.22].


Приклад.


Невелика
сімейна фірма
виробляє два
широкопопулярних
безалкогольних
напої – “Pink
Fuzz”
та “Mint
Pop”.
Фірма може
продати всю
продукцію,
котра буде
вироблена,
однак обсяг
виробництва
обмежений
кількістю
основного
інгридієнту
та виробничою
потужністю
обладнання.
Для виробництва
1 л “Pink
Fizz”
потрібно
0,02 години роботи
обладнання,
а для виробництва
1 л “Mint
Pop”
– 0,04 години. Витрати
спеціального
інгридієнту
складають 0,01
і 0,04 кг на 1 л “Pink
Fizz”
і
“Mint
Pop”
відповідно.
Щоденно в
розпорядженні
фірми мається
24 години часу
роботи обладнання
та 16 кг спеціального
інгридієнту.
Доход фірми
складає 0,10 у.о.
за 1 л “Pink
Fizz”
і
0,30 у.о. за 1 л “Mint
Pop”.
Скільки продукції
кожного виду
слід виробляти
щоденно, якщо
мета фірми –
максимізація
щоденного
доходу?

Рішення.

Крок
1.
Визначення
змінних. В рамках
заданих обмежень
фірма повинна
прийняти рішення
про те, яку кількість
кожного виду
напоїв слід
випускати.
Нехай р – число
літрів “Pink
Fizz”,
що виробляється
за день. Нехай
m
– число
літрів “Mint
Pop”,
що виробляється
за день.

Крок
2.
Визначення
цілі та обмежень.
Ціль полянає
в максимізації
щоденного
доходу. Нехай
Р – щоденний
доход, у.о. Він
максимізується
в рамках обмежень
на кількість
годин роботи
обдаднанняі
наявності
спеціального
інгридієнту.

Крок
3. Виразимо
ціль через
змінні:

 Р
= 0,10 р + 0,30 m
(у.о. в день).

Це є
цільова функція
задачі – кількісне
співвідношення,
що підлягає
оптимізації.

Крок
4.
Виразимо обмеження
через змінні.
Існують такі
обмеження на
виробничий
процес:

А)
Час роботи
обладнання.
Виробництво
р літрів “Pink
Fizz”
і m
літрів “Mint
Pop”
потребує (0,02 р
+ 0,04 m)
годин щоденно.
Максимальний
час роботи
обладнання
складає 24 год
в день. Таким
чином: 0,01 р +
0,04 m

24
год/день 

Б)
Спеціальний
інгридієнт.
Виробництво
р літрів “Pink
Fizz”
і m
літрів “Mint
Pop”
потребує (0,01 р
+ 0,04 m)

16
кг/день.

Інших
обмежень не
має, але розумно
передбачити,
що фірма не
може виробляти
напої у від’ємних
кількостях
, тому:

 р  0,
m  0.

Кінцеве
формулювання
задачі лінійного
програмування
має наступний
вигляд. Максимізувати:

 Р
= 0,10 р + 0,30 m
(у.о. в день).

при
обмеженнях:

час
роботи обладнання:
0,01 р + 0,04 m

24
год/день

спеціальний
інгридієнт:
0,01 р + 0,04 m

16
кг/день.

 р,
m  0. (3,
с.402).

Різновидом
задач лінійного
програмування
є транспортні
задачі.
Нехай потрібно
перевезти деяку
кількість
одиниць однорідного
товару з різних
складів в декілька
магазинів.
Приймемо слідуючі
позначення:
k
– число складів,
n
– число магазинів,
аі
–
кількість
товару на і-ому
складі, bj —
кількість
товару, необхідного
j-ому
магазину, xij
— кількість
одиниць товару,
що перевозиться
з і-го складу
в j-ий
магазин. Передбачається,
що a1
+ … + ak
= b1
+ …bn
і
що відомі вартості
cij
перевезення
одиниці товару
з і-го складу
до j-го
магазину (вважається,
що загальна
вартість перевезення
пропорційна
загальному
обсягу перевезення
cijxij
при
перевезенні
з і-го складу
до j-го
магазину). Потрібно
знайти такі
обсяги перевезень,
щоб F(x)
= (c11x11
+ … +
c1nx1n)
+ (ci1xi1
+ … + cinxin)
+ 

+
(ck1xk1
+ … + cknxkn)
-> min при
обмеженнях:


(II).

Для
нас важливим
є те, що всі невідомі
змінні входять
до цільової
функції, а також
в обмеження
в першому ступені
і являються
неперервно
знінюваними
величинами.
Рівності n=k
не
вимагається.

Для
розв’язку задач
лінійного
програмування
використовується
декілька методів,
серед яких
найбільш
розповсюдженими
є симплекс-метод
(складається
симплекс-таблиця,
в якій за допомогою
числа ітерацій
методом Гауса-Жордана
знаходиться
оптимальне
значення цільової
функції) та
графічний
метод.

На
практиці в
сферах фінансів,
маркетингу,
інвестування
та інших дуже
часто виникає
проблема
раціонального
розподілу
якихось ресурсів
(капіталовкладень,
товару тощо).
Щоб прийняти
вірне рішення
щодо оптимального
розподілу
ресурсів
застосовується
математична
модель динамічного
програмування.
Динамічне
програмування
використовується
для дослідження
багатоетапних
процесів. Стан
системи, якою
керують, характеризується
певним набором
параметрів
(фазовими
координатами).
Процес переміщення
в фазовому
просторі розподіляють
на ряд послідовних
етапів і здійснюють
послідовну
оптимізацію
кожного з них,
починаючи з
останнього.
На кожному
етапі знаходять
умовно оптимальне
управління
при всеможливих
передбаченнях
про результати
попереднього
кроку. Коли
процес доходить
до вихідного
стану, знову
проходять всі
етапи, але вже
з множини умовних
оптимальних
управлінь
обирається
одне найкраще
[8,
с.32].
В простому
випадку задача
динамічного
програмування
може вирішуватися
наступним
методом.

Нехай
є n
функцій з
невід’ємними
значеннями f1(x1),
x1   d1,…,
fn(xn),
xn   dn,
де d1,…,dn
– області визначення
змінних. Потрібно
знайти максимум
(або мінімум)
F(x1,…,xn)=f1(x1)
+ … + fn(xn)
при
деяких обмеженнях
на змінні x1,…,xn.
В
найпростішому
випадку обмеження
одне ( не враховуючи
природньої
вимоги невід’ємності
змінних): x1+x2+…+xn=A.
Схема дій буде
наступною:
знаходимо
F12(A)=max[f1(x)+f2(A—x)],
далі
F123(A)=max[F12(x)+f3(A—x)]
і
т.ін., а в кінці
кінців – max F(x1,…,xn)=F12…n(A)=max[F12…n — 1(x)+fn(A—x)].



Приклад.


Нехай
фірма має три
торговельні
точки, якусь
кількість
умовних одиниць
капіталу і знає
для кожної
точки залежність
прибутку в ній
від обсягу
вкладення
певного капіталу
в цю точку.

(Див.
таблицю 1).

Таблиця
1:

Вихідні
дані прикладу.


Вкладення



 1



 2


 3