Нижегородский государственный
                   архитектурно-строительный университет.
            Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.
                       Расчетно-проектировочная работа
                       Плоская задача теории упругости
Выполнил:
                  Студент гр. 163 А.В.Троханов
Проверила:
                                    Т.П. Виноградова
                             Н.Новгород 2002 г.
      Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена
пластина, толщина которой  1 см, размеры в плане 20х20 см.
                         Схема закрепления пластины.
                                    [pic]
Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой
Ф (х,у)=а1х3у+а2х3+а3х2у+а4х2+а5ху+а6у2+а7ху2+а8у3+а9ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц  1  и  2,  остальные  шесть
коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения  модуля
упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.
Найти  общие  выражения  для  напряжений  (х,  (у,  (ху  (объемные  силы  не
учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.
Определить  выражения  для  перемещений  U  и  V.   Показать   графически(на
миллиметровке) перемещение пластины в результате  деформирования,  определив
компоненты перемещений U и V  в  девяти  точках,  указанных  на  схеме.  Для
наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный  масштаб,  чем
масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
                                   Расчет.
      Дано: а3=1/3, а4= 1
                Е=0,69*106 кг/см2
                (=0,33
      Решение:
      1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому
уравнению.
      Ф(х,у)=[pic]
      Поскольку производные
                                    [pic]
      -бигармоническое уравнение удовлетворяется.
      2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы
равными нулю.
                                  (х=[pic]
                                  (у=[pic]
                                  (ху=[pic]
      3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным
аналитическим напряжениям.
                                    [pic]
       4.Проверяем равновесие пластины
                                    [pic]
       Уравненения равновесия:
       (х=0     -Т5+Т6=0 > 0=0
       (y=0     Т4+Т3+Т2-Т1-N2+N1=0 > 0=0
       (M=0    M (T4T3)=-M(T2T1) > 0=0
       удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.
       5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений
и положение главных осей для точки А.
       В этой точке напряжения в основных площадках. (х=0,  (у=-1,33,
(ху=3,33,
       Найдем главное напряжение по формуле:
                      [pic]=-0,665(3,396  кгс/см2 [pic]
       (max=(I=2,731 МПа
       (min=(II= -4,061 МПа
       Находим направление главных осей.
                                    [pic]
                             [pic]     (I=39,36o
                            [pic]     (II=-50,64o
       6.Определяем компоненты деформации
                                    [pic]
       7.Находим компоненты перемещений
                                    [pic]
       Интегрируем полученные выражения
                                    [pic]
       ((у), ((х) –некоторые функции интегрирования
                                    [pic]
                                    [pic]
                                     или
                                    [pic]
       После интегрирования получим
                                    [pic]
       где с1 и с2 – постоянные интегрирования
       С учетом получения выражений для ((у) и ((х) компоненты перемещений
имеет вид
                                    [pic]
       Постоянные с1, с2, и с определяем из условий закрепления пластины:
       1)  [pic]v           =0           или            [pic]
       2)     v          =0            или            [pic]
       3)     u          =0            или            [pic]
       Окончательные выражения для функций перемещений u и v
                                    [pic]
       Покажем деформированное состояние пластины определив для этого
перемещение в 9-ти точках.
  |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 | |координаты |Х(см) |-10 |0 |10 |10 |10 |0 |-
  10 |-10 |0 | | |У(см) |10 |10 |10 |0 |-10 |-10 |-10 |0 |0 | |V*10-4 |3,8
 |0,77 |0,58 |-0,19 |0 |0,19 |3,2 |3,1 |0 | |U*10-4 |-3,1 |-3,5 |-3,9 |-1,9
                      |0 |-0,23 |-0,45 |-1,8 |-1,9 | |
                                    [pic]
     Масштаб
            V длин: в 1см – 2см
            V перемещений: в 1см —  1*10-4см