[pic][pic]
“Помимо и даже против воли
того или другого математика,
мнимые числа снова и снова
появляются на выкладках, и
лишь постепенно по мере того
как обнаруживается польза от
их употребления, они получают
более и более широкое
распространение” Ф. Клейн.
Автор: Соловьев Алексей 12а.
[pic]ревнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.
Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных
чисел.
В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого
громадного как [pic]. Наряду с натуральными числами применяли дроби —
числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах
дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем
Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается
или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть
дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы
чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией
и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным
одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со
стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для
того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание
утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической
математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не
прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение
отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два века
до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик
Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже
подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом.
С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения
величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из
положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а
из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа
[pic], чтобы [pic].
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым
извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения
кубических уравнений вида [pic] кубические и квадратные корни: [pic].[pic]
Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один
действительный корень ([pic]), а если оно имеет три действительных корня
([pic]), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.
Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию
извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как
были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для
решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX
веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени [pic] нельзя решить
алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины
a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание,
умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень
которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее
всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа)
n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были
убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных
случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была
доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой
природы. Он показал, что система уравнений [pic], не имеющая решений во
множестве действительных чисел, имеет решения вида [pic], [pic], нужно
только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной
алгебры и считать что [pic]. Кардано называл такие величины “чисто
отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их
бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких
чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни
изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга
итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые
правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из
них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский
математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков
XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского
слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа [pic] (мнимой единицы).
Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин
“комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс
(от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий,
предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых
чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже
XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала
из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на
следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): [pic][pic]. С
помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и
синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу :
[pic], которая связывала воедино показательную функцию с
тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число
e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что [pic]. Можно
находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел,
то есть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что
математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых
чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в
теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше
швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения
интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие
вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,
гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования
теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что
результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение,
приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми
доказательствами.
“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при
вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только
алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.
В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое
истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и
немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное
число [pic] точкой [pic] на координатной плоскости. Позднее оказалось, что
еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором [pic], идущим в
эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание
комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор [pic]
можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и
углом j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При
этом [pic], [pic] и число z принимает вид [pic], который называется
тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем
комплексного числа z и обозначают [pic]. Число [pic] называют аргументом z
и обозначают ArgZ. Заметим, что если [pic], значение ArgZ не определено, а
при [pic] оно определено с точностью до кратного [pic]. Упомянутая ранее
формула Эйлера позволяет записать число z в виде [pic] (показательная форма
комплексного числа).
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие
понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область
их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют
дело с величинами, которые изображаются векторами [pic]на плоскости: при
изучении течения жидкости, задач теории упругости.
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании
“гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую
систему вида [pic], где [pic], построил в 1843 году ирландский математик У.
Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над
кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не
обладает свойством коммутативности (переместительности): например, [pic],
а [pic]. Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я
лишь упоминаю об их существовании.
Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли
русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к
упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н.
Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.
Список используемой литературы:
“Энциклопедический словарь юного математика”
“Школьный словарь иностранных слов”
“Справочник по элементарной математике” М. Я Выгодский
