————————
БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными
плоскостями, равны.Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные
м/у параллельными плоскостями ( и (. Докажем, АВ=СD. Плоскость (,
проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями ( и
( по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC
противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м
Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.Sп.п.=2(R(H+R)
БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их
пересечения параллельны.Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные
плоскости ( и ( пересекаются с плоскостью (. Докажем, что а( ( b.
Эти прямые лежат в одной плоскости (() и не пересекаются. В самом деле,
если бы прямые а и b пересекались, то пл. ( и ( имели бы общ. точку, что
невозможно, т.к. (( ( (. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не
пересекаются, а( ( b.2. Vпирамиды= 1/3*Sосн.*H
БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они
не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Док-во: Рассмотримдве плоскости ( и (. В
плоскости ( лежат
пересекающиеся в т.М
прямые a и b, а в ( —
— прямые а1 и b1,
причем а( ( а1 и b( ( b1.
Докажем, что плоскос.
-ти ( и ( не параллель
ны. Тогда они перес.
по прямой с. Мы получили, что
плоскость ( проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости (, и пересекает
плоскость ( по прямой с. Отсюда следует, что
а( ( с.
Но плоскость ( проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости (.
Поэтому b ( ( с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, ( ( с. Но
это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит
только одна прямая ( ( с.
Значит, наше допущение неверно и (( ( (. Ч.Т.Д.— — — — — — — —
БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость
называются параллельными, если они не имеют общих точек.
ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Док-во: Пусть (-плоскость,
а — не лежащая в ней прямая
и а1 — прямая в плоскости (,
параллельная прямой а.
Проведем плоскость (1 ч/з
прямые а и а1.
Она отлична от (,
т.к. прямая а не ле-
жит в плоскости (. Плоскости ( и (1
пересекаются по прямой а1. Если бы прямая а пересекала плоскость (, то
точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, т.к. прямые
а и а1 параллель-
ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость (, а значит, параллельна
плоскости (. Ч.Т.Д.2. Vпараллелепипеда= Sосн.*H
БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит
прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Док-во: проведем ч/з а иМ плоскость (, а ч/з М в
в плоскости ( прямую
b( ( a. Докажем, что b( ( a
единственна.Допустим, что существует другая прямая b2( ( a, и
проходящая ч/з т.М. Через b2 и а можно провести
плоскость (2, которая проходит ч/з М и а, след-но,
по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА
ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она
совпадает с (. По аксиоме о параллельных
прямых b2 и а совпадают. Ч.Т.Д.2. Vус.кон.=1/3*(H(R12+R1R2+R22)
БИЛЕТ 1 А1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки
принадлежащие этой плоскости
и точки, не принадлежащие ей.А2 Если две различные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой.А3 Если две различные прямые имеют общую
точку, то ч/з них можно провести плоскость, и
притом только одну.2. Sп.п.=Sбок.+Sосн.; Sбок.=Pосн.*A
БИЛЕТ 7 Сформулируем основные св-ва параллельного проектирования при
условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой L.
10 Проекция прямой есть прямая.20 Проекция отрезка есть отрезок.
30 Проекции параллельных отрезков — параллельные отрезки или отрезки,
принадлеж.
одной прямой.
40 Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на
одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.Из св-ва 40 следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции
отрезка.— — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 9 ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости ч/з основание наклонной
перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой
наклонной
Док-во: AH — перпенд.
к плоскости (, AM —
наклонная, а — прямая
проведенная в плоск.
( ч/з точку M перпенд
к проекцииHM
наклонной.
Рассмотрим плоск.
AMH. Прямая а(этой
плоскости, т.к. она (
к двум пересекающимся прямым
AH и MH. Отсюда след.
что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH, в
частности а(AM.
Ч.Т.Д.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 8 Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости,
если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим
в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.Sсеч.=2(RH
Sшар.сег.=2(RH
БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они
параллельны.
Док-во: Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости (. Докажем,
что а((b.
Через какую-нибудь точку М прямой ( проведем прямую (1, параллельную прямой
(. Докажем, что прямая (1 совпадает с прямой (. Тем самым будет доказано,
что ((( (. Допустим, что прямые ( и (1 не совпадают. Тогда в плоскости (,
содержащей прямые ( и (1, ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные
к прямой (, по которой пересекаются плоскости ( и (. Но это невозможно,
след-но, ((( (. Ч.Т.Д.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными, если угол м/у ними равен 900.
ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную
к др.
плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Док-во: Рассмотрим плоскости ( и ( такие, что плоскость ( проходит ч/з
прямую АВ, перпендикулярную к плоскости ( и пересекающуюся с ней в точке А.
Докажем, что (((. Плоскости ( и ( пересекаются по прямой АС, причем АВ(АС,
Т.к. по усл. АВ((, и, значит, прямая АВ( к любой прямой, лежащей в
плоскости (.
Проведем в плоскости ( прямую АD,(АС. Тогда (BAD — линейный угол
двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей ( и (. Но
(BAD=900 (т.к. AB((). След-но, угол м/у плоскостями ( и ( равен 900, т.е.
(((. Ч.Т.Д.Sбок=P*a (а — бок. ребро, Р-периметр)
БИЛЕТ 10 ТЕОРЕМА: Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой
плоскости.Док-во: Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость (, такую, что
а((. Докажем, что и а1((.
Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости (.
Так как а((, то а(х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой
прямой, лежащей в плоскости (, т.е. а1((. Ч.Т.Д.Vпаралл-да=abc=Sосн.*H
БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется
расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.Sполн=Sбок+2Sосн ; Sбок=P*H(ребро)
БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к
основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра основания на высоту призмы.
Док-во: Бок.грани прямой призмы — прямоугольники, основания которых —
стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой
поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е.
равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h
за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его
периметр Р. Итак, Sбок=P*h. Ч.Т.Д.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1,
расположен-
ных в плоскостях так, что отрезки AA1,BB1,CC1, и
DD1 параллельны.
Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и
четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается
ABCDA1..D1.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями,
их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами
параллелепипеда.ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся
этой точкой пополам.
Док-во: Рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого являются
диагоналями параллелепипеда ABCDA1..D1. Т.к. A1D1(( BC и
A1D1=BC, то A1D1CB — параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B
пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A1A2..An
и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P
отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-
ников: PA1A2,PA2A3,…,PAnA1.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2..An и n треугольников,
называется пирамидойМногоугольник A1A2..An называется основанием, а треугольники — боковыми
гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA1, PA2,
…, Pan — ее боковыми ребрами.ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее,
отсекает подобную пирамиду.
Док-во: S-вершина пирамид
A — верш.основания и A1 —
точка пересечения секущей
плоскости с боковым ребр.
SA. Подвергнем пирамиду
преобразованию гомотетии
относительно вершины S с
коэф. гомотет. k=SA1/SA
При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з
точку A1, т.е. в секущую
плоскость, а след-но, вся пирамида — в отсекаемую это плоскостью часть.
Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл
пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его
боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой
прямоугольники.ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов трех его измерений.
Док-во: Докажем,что
AC12=AB2+AD2+AA12
Так как ребро CC1
перпендикулярно
к основанию ABCD,
то (ACC1-прямой.
Из прямоугольного
треугольника ACC1
по теореме Пифагора
получаем AC12=AC2+CC12.
Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2. Кроме того,
CC1=AA1.
След-но AC12=AB2+AD2+AA12 Ч.Т.Д.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и
равны.Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1.
Т.к. ABCD и ADD1A1 — параллелограммы, то AB((DC и AA1((DD1. Таким обр., две
пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум
прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.
следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.
Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда —
параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и
D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр.,
две смежные стороны и ( м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв.
равны двум смежным сторонам у ( м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти
параллелограммы равныБИЛЕТ 22 ТЕОРЕМА: Объем конуса равен одной трети произведения площади
основания на высоту.
Док-во: Рассмотрим конусс объемом V. Произвольн.
сечение конуса плоскостью
перпендикулярной к оси Ox,
является кругом с центром
в т.M1 пересечения этой
плоскости с осью Ox.
Обозначим радиус этого
круга ч/з R1, а площадь
сечения ч/з S(x), где x-
— абсцисса точки M1. Из
подобия прямоугольных
треугольников OM1A1 и OMA следует, что
OM1/OM=R1/R, или x/h=R1/R, откуда R1=xR/h.
Так как S(x)=(R12, то S(x)=(R2x2/h2.
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел получаем:Площадь S основания конуса равна (R2, поэтому
V=1/3Sh Ч.Т..Д.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 21 За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее
развертки.Так как площадь прямоугольника ABB1A1 равна AA1*AB=2(rh, то для вычислений
площади боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается
формула Sбок=2(rh
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины
окружности основания на высоту цилиндра.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 20 ТЕОРЕМА: Объем призмы равен произведению площади основания на
высоту.
Док-во: 1) Рассмотрим прямую треуг. призму
ABCA1B1C1 с объемом V и
высотой h. Проведем такую
высоту треугольника ABC
отрез.BD, которая разделяет
этот треуг. на два треуг.
Плоскость BB1D разделяет
данную призму на две приз.,
основаниями которых явл.
прямоугольные треуг. ABD и BDC. Поэтому объемы V1 и V2 этих призм
соответственно равны
Sabdh и Sbdch. V=V1+V2, т.е. V=Sabdh+Sbdch=
=(Sabd+Sbdc)h. Таким обр., V=Sabch
2) Докажем теорему для произвольной
призмы с высотой h и площ.
основания S. Такую призму
можно разбить на прямые
треуг. призмы с высотой h.
Выразим объем каждой приз.
по формуле (1) и сложим эти
объемы. Вынося за скобки
множитель h, получим вскобках сумму площадей
оснований треугольных призм, т.е площадь S основания исходной призмы. Таким
образом, объем призмы равен Sh. Ч.Т.Д.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
БИЛЕТ 19 ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
половине произведения периметра основания на апофему.
Док-во: Боковые грани правидьной пирамиды — равные равнобедренные
треугольники, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты
равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме
произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2*d
за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его
периметр. Ч.Т.Д.— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
