1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего
порядка.
Определитель- число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го
порядка А=(а11) является единственный элемент этой матрицы. Определителем
2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка,
которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной
диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А.
Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу
Сарруса. Правило Сарруса: определитель 3-го порядка ((3) равен
алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных
строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители
которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи
основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со
знаком «-».2. Свойства определителей.
1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то (
этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не
изменяется: (А (=( А’( . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца
матрицы умножить на одно и то же число, то и ( этой матрицы умножится на
это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её
определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная
матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен
0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её ( равен 0.
7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой
строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к
элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или
столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка
матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то ( этой матрицы может
быть представлен в виде суммы 2-х определителей.3. Минор.
Минором Мij квадратной матрицы n-го порядка для элемента аij называется
определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой
строки и j-ого столбца.4. Алгебраическое дополнение.
Алгебраическим дополнением Аij для элемента квадратной матрицы аij
называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j .5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n-ого
порядка.Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется число, равное
алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-
элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём
знак каждого члена определяется как (-1)r(j), где r(j)-число инверсий).
Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений
элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.6. Матрицы. Основные определения.
Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m
строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной
строки. Вектор-столбцом — из одного столбца. Матрица, у которой количество
столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n-ого
порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца
совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют
диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной
диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и
обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0,
называется нуль-матрицей.7. Операции над матрицами.
1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую
матрицу. Произведением матрицы А на число ( называется матрица В, равная
(А, каждый элемент которой находится по формуле: bij =( x aij. Для того,
чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый
элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие — складывать можно только
матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица
С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле Сij=aij+bij. Для того,
чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы,
стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична
сложению. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только
тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А
размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn,
каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки
матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.
5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные
матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы Аm называется
произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет;
транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы
меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной
диагонали остаются на своих местах.8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если
при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная
матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы):
обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда
заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной, если её
определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм:
1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические
дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А(
(на месте каждого эл-та Ат его алгебраич.доп-я). 5) А-1= 1/(А (((. 6)
Проверка((А-1 (А=Е.9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой
матрицы (rang A=r(A)(. Ранг матрицы не изменяется при проведении
элементарных преобразований. Преобразования: 1)отбрасывание строки или
столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или
столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка
строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или
столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не
равное 0; 5) транспонирование матрицы.10. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения.
Матричная форма записи.Линейным ур-ем относительно неизвестных x1,x2,…,xn называется выражение
вида a1x1+a2x2+…+anxn=b, где a1,a2,…,an и b- простые числа, причём
a1,a1,…,an называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным
коэффициентом. Последовательность чисел k1,k2,…,kn называется решением ур-
я, если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное
равенство. Два линейных ур-я называются равносильными, если их решения
совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо
осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части
ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число,
отличное от ноля. Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения
или установить, что их нет. Система уравнений называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если
она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений
множество. Неизвестное x1 называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы
содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я
системы неизвестное x1 не входит. Если каждое ур-е системы содержит
разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестные
СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными.
Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий
равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше,
чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая
её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами
которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей
системы. Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов,
называется расширенной матрицей.11. Правило Крамера.
Правило Крамера: пусть (А-определитель матрицы системы, а (j-определитель
матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец
свободных коэффициентов; тогда, если (А(0, то система имеет единственное
решение, определяемое по формуле ( Xj= (j/ (A.12. Теорема Кронекера-Капелли.
Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий
называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса.
Метод Гаусса: каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно
превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую
противоречивое ур-е. Противоречивым называется ур-е вида OX1+OX2+…+OXn=b.
Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему
называют разрешённой. Неизвестное x1 называют разрешённым, если к.-н. ур-е
системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все другие
ур-я системы неизвестное x1 не входит.14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.
Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных
равно числу уравнений. Алгоритм: 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти
обратную матрицу для матрицы системы (А-1); 3) Умножить А-1 на матрицу
свободных коэффициентов (В) ( X=A-1(B.15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.
Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных
однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных
однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере,
нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение
тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных
меньше числа переменных, т.е. при rang A ( n. Всякая лин. комбинация
решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.
Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной,
если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема:
если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных
однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная
система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение
системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk –
любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и
k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме
общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и
произвольного частного решения этой системы.1 (16). Скалярные и векторные величины. Основные определения.
В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые
полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь,
объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения
которых помимо численного значения требуются ещё и направления в
пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный
отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у
которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами
вектора (а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой)
или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор
((a(((x2+y2(+z2)(. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор
называется нулевым и обозначается (0. ( направление (0 произвольно, не
определено). Для каждого (а, отличного от 0, существует противоположный
-(а, который имеет модуль, равный (а(, коллиниарен с ним, но направлен в
другую сторону. Два вектора (а и(в называются коллинеарными, если они
расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора
называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны;
3)направлены в одну сторону.2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.
1)Сложение 2-х векторов: (правило треугольников) суммой 2-х векторов (а и(в
называют вектор (с =(а +(в, начало которого совпадает с началом (а, а конец-
с концом (в при условии, что начало (в совпадает с концом(а. 2) Сложение
нескольких векторов: (правило многоугольника) сумма 4-х векторов
(а,(в,(с,(d есть вектор(е =(а +(в +(с +(d, начало которого совпадает с
началом (а, а конец- с концом(d. (правило параллелепипеда) сумма 3-х
векторов (а,(в,(с определяется как (d =(а +(в +(с. 3)Вычитание 2-х
векторов: разностью 2-х векторов (а и (в называется сумма (а и -(в
(противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности n
называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих
компонент слагаемых вектора: (( = (x +(y, (i=xi + yi (i.
5) Произведением (x на действительное число а называется (в
= а(x, каждая компонента которого равна а((xi. Cвойства лин. операций над
векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное
св-во суммы (сочетательное); 3)ассоциативное относительно числового
множителя: ((( (((( ( ((((((; 4)дистрибьютивное (распределительное;
5)существование нулевого вектора, такого, что ((((((( ((( ; 6)для любого ((
существует такой противоположный -(( , что (((((((((((((; 7)для любого ((
справедливо: (((((((.3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса.
N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных
чисел, записанных в виде (x=(x1,x2,xi,xn), где Xi-компонента (X. Два N-
мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие
компоненты: (x =(y, если xi=yi (i. Множество векторов с действительными
компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения
вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное,
ассоциативные), называется векторным пространством. Размерность векторного
пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства.
Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней
операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-
мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых
векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый
вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом
называется совокупность всех лин. независимых векторов системы
пространства. Теорема: для того, чтобы — 1)2 вектора на плоскости (2)3-в
пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они
были не 1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два
вектора (а и(в называются коллинеарными, если они расположены на одной
прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система
является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы.
Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по
векторам её базиса.4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису R.
Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-
плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R
разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех
лин. независимых векторов системы пространства.5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису R.
Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-
плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R
разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех
лин. независимых векторов системы пространства.6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.
7 (22). Проекция вектора а на вектор b. Направляющие косинусы вектора.
8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Скалярным произведением 2-х векторов (а и(в называется число, равное
произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а ((в(((а ((((в
((Cos(, где (-угол(а между(в. Скалярное произведение может быть найдено
также по формуле: (а ((в =((а (( пр.а (в =((в(( пр.в (а( скалярное
произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на
проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения:
1)Переместительное ((а((в=(в ((а); 2)Сочетательное относительно числового
множителя ((((а ((в)=((а (((в); 3)Распорядительное ( ((а +(в )((с=(а ((с
((в((с); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из
перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы
перпендикулярны. Скалярное произведение само на себя равно квадрату его
модуля.9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов,
заданных координатами.10 (25). Определение угла между двумя векторами.
11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.
12 (27). Векторное произведение.
Векторным произведением вектора (а на вектор (в называется вектор (с,
который определяется следующим образом: 1) модуль (с численно равен площади
параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах
(с(=(а(((в( (Sin(. 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым
векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца
вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки.
Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади
параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы
заданы в координатной форме, то их векторн. Произведение находится по
формуле: (а ((в =( i j k((ax ay az(
(bx by bz(.
13 (28). Свойства векторного произведения.
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на
противоположный, сохраняя при этом свой модуль: (а ((в =((в) ((а.
2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового
(скалярного) множителя: ((((а((в(((((а(((в((а(((((в(. 3)Векторн.пр-е
обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-
вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла
между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). (Для того, чтобы 2
ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их
векторное пр-е было равно нуль-вектору.14 (29). Векторное произведение ортов.
15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.
16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения.
Геометрический смысл смешанного произведения.Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом:
((а ((в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на (с
скалярно. ((а ((в) ((с. Такое произведение называется векторно-скалярным
или смешанным. Оно представляет собой некоторое число. Скалярным
произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на
косинус угла между ними. Смешанное произведение равно определителю 3-го
порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых
векторов.Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении
поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на
противоположный, т.е. ((а ((в) ((с = — ((в ((а) ((с; ((а ((в) ((с = (с (
((а ((в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо
и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: ((а ((в) ((с=0.
Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости,
называются компланарными. Геометрич. смысл смешанного произведения:
состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму
параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.
Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины
отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины.
Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой,
которая называется ордината. Координата на горизонтальной оси называется
абсцисса. Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки
плоскости упорядоченную пару действительных чисел – координаты этой точки.
Расстояние между 2-мя точками возможно найти 2-мя путями: 1)если обе точки
лежат на одной оси, то расстояние между ними по оси ординат (или абсцисс)
равно 0, а по оси абсцисс (ординат) абсолютной величине разности между
абсциссами конца и начала отрезка +рис.; 2) если 2 точки лежат в одной
плоскости, длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов
разностей соответствующих координат концов отрезков.Деление отрезков в данном отношении: даны 2 точки М1(((((( и М2((((((.
Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами ((;((, такую, что
отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М1М/М2М=(. Найти координаты
М, удовлетворяющие данному равенству. Решение: М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1,
AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =(. X-X1=((X2-X), X-X1=(X2-(X.
X+(X=X1+(X2(X (1+() =X1+(X2, X=X1+(X2/1+(.2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование.
Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax+By+C=0,
в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А2+В2 (0.
1)Пусть В(0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 можно записать в виде y= -Ax/B – C/B.
Обозначим k= -А/В, b= -C/B. Если А(0, С(0, то получим y=kx+b (ур-е прямой,
проходящей ч/з начало координат); если А=0, С(0, то y=b (ур-е прямой,
параллельной оси Оy); если А=0, С=0, то y=0 (ур-е оси Оx). 2)Пусть В=0,
А(0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 примет вид x= — C/A. Если С(0, то получим x=a (ур-
е прямой, параллельной оси Оy); если С=0, то x=0 (ур-е оси Оy). Таким
образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно
нулю) и С ур-е Ax+By+C=0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Оxy.
Это ур-е называется общим ур-ем прямой. Ур-е прямой, заданное в общем
виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него
легко находятся все основные хар-ки прямой: 1)k= -A/B; 2)начальная ордината
b= — C/B; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax+By+C=0 /((-
C)-Ax/C-By/C=1
a= — C/A; b= — C/B.
3 (34). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) перпендикулярно
нормальному вектору n (A, B).4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) параллельно
направляющему вектору q (l, m).5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки М 1(x1, y1)
М2 (x2, y2).Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых. Прямая задана 2-мя
лежащими на ней точками М1 (x1;y1) и M2(x2;y2), x1(x2, y1(y2(при равенстве
— применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления
ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y-
y1=k(x-x1). Т.к. точка M2(x2;y2) лежит на данной прямой, то чтобы выделить
её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой
коэффициент: k=y2-y1/x2-x1.Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y-y1=(x-
x1) ( y2-y1/x2-x1( y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.(др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tg (=M2(N/M1(N, M2N=y2-y1;
M1N=x2-x1( tg (=K=y2-y1/x2-x1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y-
y1=(x-x1)(y2-y1//x2-x1 ((( y2-y1)( y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. )
6 (37). Уравнение прямой в отрезках.
Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е
прямой по заданным отрезкам а(0 и b(0, отсекаемым на осях координат.
Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;b) — y-y1/y2-
y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямой в отрезках примет вид: y-0/b-0= x-a/0-a или:
-ay= b(x-a), -ay-bx+ab=0 ((ab; -y/b-x/a+1=0
(((-1);x/a+y/b=1. А-отрезок, отсекаемый на оси Оx; В-отрезок на оси Оy. Тогда
прямую можно определить как прямую, заданную двумя точками(A(a;b) на осиOx
и B(0:b) на оси Oy. Подставив координаты этих точек в ур-е прямой,
проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках.7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Угловой коэффициент прямой- одна из характеристик расположения прямой на
плоскости; её наклон относительно оси Оx (за угол наклона принимается ((,
отсчитываемый от оси Оx против движения часовой стрелки до этой прямой);
tg угла наклона этой прямой к оси Оx. Если k((, то ( -острый; если (=0, то
k=0, прямая параллельна оси Оx; если (=90(, то прямая параллельна оси Оy, k-
не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат
задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Оy и k этой
прямой. Возьмём произвольную точку М ((;(). Тогда tg угла ( наклона прямой
найдём из прямоугольного треугольника МВN: tg ( = MN/NB= y-b/x. Введём
угловой коэффициент прямой k=tg (; получим k=y-b/x. y=kx+b — ур-е прямой
с угловым коэффициентом. В зависимости от величин k и b возможны следующие
варианты расположения прямой: 1) при в(0, прямая пересекает ось Оx выше
начала координат; при в(0, прямая ( Оx ниже начала координат. 2)при k(0,
прямая образует острый угол с Оx; при k(0,-тупой угол; при k=0-параллельна
оси Оx; при k=(-перпендикулярна Оx.8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (x, y) с данным
угловым коэффициентом k.9 (40). Нормальное уравнение плоскости.
Нормальное ур-е плоскости: x(Cos () +y(Cos ()+z(Cos ()+(=0, где Cos (, Cos
(, Cos (-направляющие Cos –сы нормального вектора; (-расстояние от начала
координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём
умножения на нормирующий множитель.10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы.
Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если k1= k2,
то углы наклона прямых к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные
прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их
угловых коэффициентов. 2)Формула tg(=k2-k1/1+k1k2 определяет угол ( между
пересекающимися прямыми через tg(. Если (=90, то эта формула оказывается
неприменимой, т.к. tg=90 не существует. Если прямые взаимно
перпендикулярны, то (2=(1+90, откуда tg(2= tg ((1+90)= -Сtg(1. tg(2= — 1/
tg(1. Заменяя tg(1 и Сtg(2 через k1 и k2, находим: k2= 1/ k1 или 1+ k1k2=0.
Обратно, пусть k2= 1/ k1, это значит, что tg(2= -1/tg(1 откуда получаем
(2=(1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е.
прямые взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности 2-х прямых
состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной
величине и противоположны по знаку: k2= -1/ k1.11 (42). Угол между прямыми.
Угол ( между 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tg(=0; с другой
стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k1= k2, следует, что
k1- k2=0 и по формуле tg(=k2-k1/1+k1k2-угол между 2-мя пересекающимися
прямыми-получаем: k1-k2/1+k1k2=0.12 (43). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости.
Существуют следующие виды ур-ий плоскости: 1) Общее ур-е плоскости:
Ax+By+Cz+D=0, где (n=(A,B,C)- нормальный вектор плоскости. 2) ур-е
плоскости, проходящей через точку М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору
(n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках:
x/a+y/b+z/c=1, где a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях
координат. 4)Нормальное ур-е плоскости: x(Cos () +y(Cos ()+z(Cos ()+(=0,
где Cos (, Cos (, Cos (-направляющие Cos –сы нормального вектора; (-
расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к
нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е
плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2),
М3(x3;y3;z3).(x-x1 y-y1 z-z1(
(x2-x1 y2-y1 z2-z1( =0.
(x3-x1 y3-y1 z3-z1(
13 (44). Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
14 (45). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.
Взаимное ур-е 2-х прямых в пространстве: а) пусть прямые заданы своими
канонич.ур-ями: x-x1/L1=y-y1/m1=z-z1/n1,x-x2/L2=y-y2/m2=z-z2/n2; где (q 1(L1;m1;n1), (q2 (L2;m2;n2)- направляющие
векторы. Тогда прямые параллельны, если параллельны их направляющие
векторы:(q1 (((q2 ( L1/L2=m1/m2=n1/n2. б) пусть прямые заданы аналогично
случаю а). Две прямые ( тогда и только тогда, когда их направляющие векторы
перпендикулярны ((q1((q2).L1L2+m1m2+n1n2=0. Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве:
1)Общее ур-е прямой: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей.(A1x+B1y+C1z+D1=0
(A2x+B2y+C2z+D2=0, где А1, В1,С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2,
С2.2)Ур-е прямой, проходящей через две точки (выводится аналогично ур-ю прямой
на плоскости):x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1.
3)Каноническое уравнение прямой в пространстве (ур-е прямой, проходящей ч/з
заданную точку М0 (x0;y0;z0), параллельно направляющему вектору (q
(l;m;n)):x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n.
4)Параметрическое ур-е прямой: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на
прямой, и направляющего вектора. М0(x0;y0;z0), (q (l;m;n). (x=x0+lt(y=y0+mt
( z=z0+nt, t-
параметр.5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве – это, практически, угол между их
направляющими векторами:Cos(=L1L2+m1m2+n1n2/( L12 +m12+n12 (( L22+m22+n22 .
15 (46). Взаимное расположение прямой и плоскости.
1)Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:
Cos(=(Al+Bm+Cn(((A2+B2+C2 ((l2+m2+n2. Где l, m, n- координаты
направляющего вектора прямой; A, B, C- координаты (n. В этом случае прямая
может быть задана каноническим или параметрическим ур-ем прямой, а
плоскость – общим. 2)Прямая и плоскость в пространстве параллельны: тогда и
только тогда, когда скалярное произведение направляющего вектора прямой и
нормального вектора плоскости равно 0. (n(A,B,C)(q (l;m;n)( Ax+By+Cz+D=0
(общее ур-е плоскости); x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n. Т.к. (n ((q=0 (Al+Bm+Cn=0.
3)прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны: тогда и только тогда,
когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарные
(параллельны). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их
векторное произведение равно 0 или координаты пропорциональны. Т.к. (n
((q=0, А/l=B/m=C/n. 4)условия, при которых прямая принадлежит плоскости:
а)скалярное произведение(n ((q=0, т.е. Al+Bm+Cn=0; б) при подстановке
координат точки, лежащей на прямой, в общее ур-е плоскости получается
верное равенство( Ax0+By0+Cz0+D=0(x=x0+lt,
(y=y0+mt,
(z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой).
5)точка пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы найти координаты
точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, необходимо совместно
решить систему, составленную из ур-ий: x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n (канонич. ур-е
прямой), Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости). Для того,чтобы решить такую
систему необходимо перейти от канонич. ур-я к параметрическому:
(x=x0+lt,(y=y0+mt,
(z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой)
( Ax+By+Cz+D=0.
16 (47). Кривые второго порядка. Окружность.
Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени
относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа.
Кроме того, по крайней мере, одно из этих чисел (0. Окружность-множество
точек, равно удалённых от данной точки (центра). Если обозначить через R
радиус окр., а через С(x0,y0) –центр окружности, то исходя из этого
определения :Возьмём на окр. произвольную точку М (x,y). По определению, расстояние СМ=
R. Выражу СМ ч/з координаты заданных точек: СМ =( (x-x0)2+(y-y0)2 = R
(R2=(x-x0)2+(y-y0)2 -ур-е окр. С центром в точке С(x0,y0). Это ур-е
называется нормальным ур-ем окружности. Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0-ур-е
второй степени с 2-мя переменными в общем виде. Ax2++Cy2 =(-кривая второго
порядка, где А,В,С не равны 0 одновременно, т.е. А2+В2+С2(0. x2+y2-2x0x-
2y0y+x02+y02-R2=0; B=0, A/1=C/1(A=C(0 (т.к. A2+B2+C2(0, B=0). Получаем ур-
е: Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0- общее ур-е оркужности. Поделим обе части этого ур-я
на А(0 и, дополнив члены, содержащие x,y, до полного квадрата, получаем:
(x+(D/2A))2+(y+(E/2A))2=(D2+E2-4AF)/4A2. Cравнивая это ур-е с нормальным ур-
ем окр., можно сделать вывод, что ур-е: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0-ур-е
действительной окружности, если:1)А=С; 2)В=0; 3) D2+E2-4AF(0. При
выполнении этих условий центр окр. расположен в точке О(-D/2A;-E/2A), а её
радиус R=(D2+E2-4AF/2A.17 (48). Кривые второго порядка. Эллипс.
Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени
относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа.
Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел (0. Эллипс (кривая
эллиптического типа) — кривая 2-го порядка, где коэффициенты А и С имеют
одинаковые знаки.18 (49). Кривые второго порядка. Гипербола.
Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени
относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа.
Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел (0. Кривая 2-го порядка
называется гиперболой (или кривой гиперболического типа), если коэффициенты
А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС(0. Кривые 2го порядка
описываются с помощью общего ур-я:Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где
[pic]
а) Каноническое ур-е параболы: y2=2px или y=ax2
19 (50). Кривые второго порядка. Парабола.
Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени
относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа.
Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел (0.————————
2)
