Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.
Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если
существует такое число а, что последовательность {xn-а} является
бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности
{xn}.В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая
последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности:
Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число
а, что для любого положительного числа ( можно указать номер N такой, что
при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
|xn-a|<(.При этом число а называется пределом последовательности.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности
{xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn
сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+(n, xn=b+(n, где (n и (n –
элементы бесконечно малых последовательностей {(n} и {(n}.
Вычитая данные соотношения, найдем (n-(n=b-a. Так как все элементы
бесконечно малой последовательности {(n-(n} имеют одно и то же постоянное
значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой
последовательности {(n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е.
b=a. Теорема доказана.ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} — сходящаяся последовательность и а – ее
предел. Представим ее в следующем виде:xn=а+(n,
где (n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно
малая последовательность {(n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая
последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех
номеров n справедливо неравенство |(n|(А. Поэтому | xn | ( |a| + A для всех
номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема
доказана.Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например,
последовательность 1, -1, 1, -1, … — ограничена , но не является
сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к
некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a}
являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-
a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к.
|xn– xn+1| = 2 для любого номера n.ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов
последовательностей {хn} и {yn}.Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:xn=а+(n, yn=b+(n,
где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn +
yn) — (а + b) =(n+(n.
Таким образом, последовательность {(хn + yn) — (а + b)} бесконечно
малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим
пределом число а+b. Теорема доказана.ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов
последовательностей {хn} и {yn}.Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:xn=а+(n, yn=b+(n,
где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn —
yn) — (а — b) =(n-(n.
Таким образом, последовательность {(хn — yn) — (а — b)} бесконечно
малая, и поэтому последователдьность {хn — yn} сходится и имеет своим
пределом число а-b. Теорема доказана.ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов
последовательностей {хn} и {yn}.Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+(n, yn=b+(n и
xn(yn=a(b+a((n+b((n+(n((n. Следовательно,xn(yn-а(b=a((n+b((n+(n((n.
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность
{a((n+b((n+(n((n} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn(yn-
а(b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn(yn} сходится и
имеет своим пределом число а(b. Теорема доказана.ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля
предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность
[pic], которая является ограниченной.Доказательство: Пусть [pic]. Так как b(0, то (>0. Пусть N – номер,
соответствующий этому (, начиная с которого выполняется неравенство:
|yn-b|<( или |yn-b|<[pic]из этого неравенства следует, что при n(N выполняется неравенство
|yn|>[pic]. Поэтому при n(N имеем [pic]. Следовательно, начиная с этого
номера N, мы можем рассматривать последовательность [pic], и эта
последовательность ограничена. Лемма доказана.ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при
условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся
последовательность, предел которой равен частному пределов
последовательностей {xn} и {yn}.Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с
некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и
последовательность [pic] ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем
рассматривать последовательность [pic]. Пусть а и b – пределы
последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность [pic]
бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+(n, yn=b+(n, то
[pic][pic].Так как последовательность [pic] ограничена, а последовательность [pic]
бесконечно мала, то последовательность [pic] бесконечно малая. Теорема
доказана.Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися
последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их
пределами.ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с
некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn(b (xn(b), то и предел а
этой последовательности удовлетворяет неравенству а(b (a(b).Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с
некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn(b. Предположим, что а<b.
Поскольку а – предел последовательности {xn}, то для положительного (=b-a
можно указать номер N такой, что при n(N выполняется неравенство|xn-a|<b-a.
Это неравенство эквивалентно
-(b-a)<xn-a<b-a
Используя правое из этих неравенств мы получим xn<b, а это противоречит
условию теоремы. Случай xn(b рассматривается аналогично. Теорема доказана.Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять
строгому неравенству xn>b, однако при этом предел а может оказаться равным
b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако [pic].
Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей
{xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn (
уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству
[pic].
Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому
неотрицателен и ее предел [pic]. Отсюда следует, что
[pic].Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn}
находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом
сегменте.
Это выполняется, так как а(xn(b, то a(c(b.ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющие
общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы
последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xn(yn(zn. Тогда
последовательность {yn} сходится и имеет предел а.Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно
малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются
неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера,
будут выполнятся также неравенства xn-а ( yn-а ( zn-а. Отсюда следует, что
при n(N’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству|yn-a| ( max {|xn-a|, |zn-a|}.
Так как [pic] и [pic], то для любого (>0 можно указать номера N1 и N2
такие, что при n(N1 |xn-a|<(, а при n(N2 |zn-a|<(. Итак
последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана.Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы
сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие
неравенства для пределов этих последовательностей.ПРИМЕРЫ
1. Последовательность [pic] сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь
каково бы ни было (>0, по свойству Архимеда вещественных чисел
существует такое натуральное число n(, что n(>[pic]. Поэтому [pic]
для всех n(n(, а это означает, что [pic].2. Последовательность [pic] сходится и [pic], что следует из того, что
[pic], и того, что [pic].ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА № 1
Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию
[pic] (m, n = 1, 2, 3, … ),
тогда последовательность
[pic],…
должна либо расходиться к [pic], причем предел этой последовательности
будет равен ее нижней грани.РЕШЕНИЕ:
Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай,
когда нижняя грань ( конечна. Пусть (>0 и [pic](+(. Всякое целое число n
может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1.
Полагая единообразие а0=0, имеем:an=aqm+r(am+am+…+am+ar=qam+ar,
[pic],
[pic]ЗАДАЧА № 2
Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию
[pic]
тогда существует конечный предел
[pic],
причем
[pic] (n = 1, 2, 3, … ).
РЕШЕНИЕ:Из неравенств 2am-1<a2m<2am+1 получаем:
[pic] (*)
Ряд
[pic]
сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:|a1|+2-1+2-2+2-3+…
запишем целое число n по двоичной системе:
n=2m+(12m-1+(22m-2+…+(m ((1, (2, …, (m = 0 или 1)
согласно предположению
[pic]
[pic].
Применяя теорему (1) для данных:
s0=0, s1=[pic], sm-1=[pic], sm=[pic], …, pn0=0,
pn1=[pic], …, pn, m-1=[pic],
[pic], pn, m+1=0, …,заключаем, что [pic]. Наконец, в силу (*) имеем:
[pic].
ЗАДАЧА № 3
Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в
собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда
расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и
lim sup.РЕШЕНИЕ:
Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn,
… ограничены. Пусть [pic], [pic], l — целое положительное число, l>2 и
[pic].
Разобьем числовую прямую на l интервалов точками-(, m+(, m+2(, …, M-2(, M-(, +(.
Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<(.
Пусть, далее, sn1 (n1>N) лежит в первом интервале и sn2 (n2> n1) – в
последнем. Тогда числа конечной последовательности [pic] не смогут
“перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной (.
Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не
«медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».ЗАДАЧА № 4
Пусть для последовательности t1, t2, … , tn, … существует такая
последовательность стремящихся к нулю положительных чисел [pic]…, что
для каждого n[pic].
Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду плотно между их нижним и
верхним пределами.РЕШЕНИЕ:
Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности
[pic], произвольно медленно нисходящие от верхнего предела
последовательности к ее нижнему пределу.ЗАДАЧА № 5
Пусть v1, v2, … , vn, … — положительные числа, v1 ( v2 ( v3 …
Совокупность предельных точек последовательности[pic], …
заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта
последовательность стремится к пределу).РЕШЕНИЕ:
[pic]
ЗАДАЧА № 6
Числовая последовательность, стремящаяся к [pic], имеет наименьший член.
РЕШЕНИЕ:
Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь
конечное число членов последовательности, а среди конечного множества
чисел существует одно или несколько наименьших.ЗАДАЧА № 7
Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо
наименьший, либо и тот и другой.РЕШЕНИЕ:
При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой
последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда
по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности.
Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену
последовательности.ЗАДАЧА № 8
Пусть l1, l2, l3, … , lm, … — последовательность положительных чисел и
[pic], тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln
меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3, … ,
ln-1.РЕШЕНИЕ:
Пусть задано целое положительное число m и ( – наименьшее из чисел l1,
l2, l3, … , lm; (>0. Согласно предположению в рассматриваемой
последовательности существуют члены, меньше чем (. Пусть n – наименьший
номер, для которого ln<(. Тогда:n>m; ln<l1, ln<l2, …, ln<ln-1.
ЗАДАЧА № 9
Пусть l1, l2, l3, … , lm, … — последовательность положительных чисел и
[pic], тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln
превосходит все следующие за ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…ЗАДАЧА № 10
Пусть числовые последовательности
l1, l2, l3, … , lm, … (lm>0),
s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …)обладают тем свойством, что
[pic], [pic].
Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно
выполняются неравенстваln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3, …
lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,РЕШЕНИЕ:
Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm
больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой
последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть
это будут:[pic],… [pic]
Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя
последовательными выступающими членами, скажем nr-1<v<nr. Имеем
последовательно:[pic],
значит
[pic] (*)
отсюда заключаем, что
[pic]
Действительно, в противном случае [pic], значит, в силу (*) и вся
последовательностьl1s1, l2s2, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь
пусть задано целое положительное число m и ( – наименьшее из чисел
[pic],… ; (>0. Согласно предположению в рассматриваемой
последовательности существуют члены, меньше чем (. Пусть k – наименьший
номер, для которого [pic]<(. Тогда:k>m; [pic].
ЗАДАЧА № 11
Если числовая последовательность [pic],… стремится к [pic] и А превышает
ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько
таких), n(1, что n отношений[pic]
все не больше А, а бесконечное множество отношений
[pic],…
все не меньше А.
РЕШЕНИЕ:
Имеем [pic]. Пусть минимум последовательности
L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …
Будет Ln-nA; тогда
Ln-u-(n-u)A( Ln-nA; Ln+v-(n+v)A( Ln-nA,
u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений
относительно А.ЗАДАЧА № 12
Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3, … , lm, …
предполагается лишь, что[pic].
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n ( 1, что
одновременно выполняются все неравенства[pic]
[pic].
Если А((, то также n((.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.
Так как L1-A<0, то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении.
ln+1(A; поэтому ln+1, а следовательно и n должны стремиться к
бесконечности одновременно с А.ЗАДАЧА № 13
Пусть числовая последовательность l1, l2, l3, … , lm, … удовлетворяет
условиям[pic], [pic]
Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n ( 1, что
одновременно выполняются все неравенства[pic]
[pic].Если А(0, то также n(0.
РЕШЕНИЕ:
Положим
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.
Тогда [pic]. Последовательность
L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …
стремится к -(. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие
нас неравенства будут выполняться для этого номера n.
В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много
членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда
числа:[pic]
все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них,
соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть
обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.
