“Разбиения выпуклого многоугольника”
Скращук Дмитрий ( г. Кобрин)
П.1. Выпуклый многоугольник с n сторонами можно разбить на треугольники
диагоналями, которые пересекаются лишь в его вершинах. Вывести формулу для
числа таких разбиений.
Определение: назовем правильным разбиением выпуклого n-угольника на
треугольники диагоналями, пересекающимися только в вершинах n-угольника.
Пусть P1, P2 , … ,Pn–вершины выпуклого n-угольника, Аn- число его
правильных разбиений. Рассмотрим диагональ многоугольника PiPn.В каждом
правильном разбиени P1Pn принадлежит какому-то треугольнику P1PiPn,
где1<i<n. Следовательно, полагая i=2,3, … , n-1, мы получаем (n-2) группы
правильных разбиений, включающие все возможные случаи.
Пусть i=2 – одна группа правильных разбиений, которая всегда содержит
диагональ P2Pn .Число разбиений, входящих в эту группу совпадает с числом
правильных разбиений (n-1) угольника P2P3…Pn, то есть равно Аn-1.
Пусть i=3 – одна группа правильных разбиений, которая всегда содержит
диагональ P3P1 и P3Pn.Следовательно, число правильных разбиений, входящих в
эту группу, совпадает с числом правильных разбиений (n-2)угольника
P3P4…Pn, то есть равно Аn-2.
При i=4 среди треугольников разбиение непременно содержит треугольник
P1P4Pn.К нему примыкают четырехугольник P1P2P3P4 и (n-3)угольник P4P5
…Pn.Число правильных разбиений четырехугольника равно A4, число правильных
разбиений (n-3) угольника равно
Аn-3.Следовательно, полное число правильных разбиений, содержащихся в этой
группе, равно
Аn-3A4.Группы с i=4,5,6,… содержат Аn-4A5, Аn-5A6, … правильных разбиений.
При i=n-2 число правильных разбиений в группе совпадает с числом правильных
разбиений в группе с i=2,то есть равно Аn-1.
Поскольку А1=А2=0, А3=1, A4=2 и т.к. n ( 3, то число правильных разбиений
равно:
Аn= Аn-1+Аn-2+Аn-3 A4+Аn-4 A5+ … + A 5Аn-4+ A4Аn-3+ Аn-2+ Аn-1.
Например:
A 5= A4+ А3+ A4=5
[pic]
A6= A5+ А4+ А4+ A5=14
A7= A6+ А5+ А4 *А4+А5+ A6 =42
A8= A7+ А6+А5*А4+ А4*А5+А6+ A7 =132
П.2.1. Найдем количество во всех диагоналей правильных разбиениях,
которые пересекают внутри только одну диагональ.
Проверяя на частных случаях, пришли к предположению, что количество
диагоналей в выпуклых n-угольниках равно произведению количества разбиений
на (n-3)
Докажем предположение, что P1n= Аn(n-3)
Каждый n-угольник можно разбить на (n-2) треугольника, из которых можно
сложить (n-3) четырехугольника, причем каждый четырехугольник будет иметь
диагональ. Но в четырехугольнике можно провести 2 диагонали, значит в
(n-3) четырехугольниках можно провести (n-3)
дополнительные диагонали. Значит, в каждом правильном разбиении можно
провести (n-3) диагонали удовлетворяющих условию задачи.П.2.2. Найдем количество во всех диагоналей правильных всех разбиениях,
которые пересекают внутри только две диагонали.
Проверяя на частных случаях, пришли к предположению, что количество
диагоналей в выпуклых n-угольниках равно произведению количества разбиений
на (n-4), где n ? 5
Докажем предположение, что P2n=(n-4)Аn , где n ? 5.
n-угольник можно разбить на (n-2) треугольников из которых можно
сложить (n-4) пятиугольника, в котором будут содержаться две
непересекающиеся диагонали. Значит, найдется третья диагональ, которая
пересекает две другие. Так как имеется (n-4) пятиугольника, значит,
существует (n-4) дополнительные диагонали удовлетворяющих условию задачи.П.2.3. Разбиение n-угольника, в котором дополнительные диагонали
пересекают главные k раз.
Определение 1:Главными диагоналями выпуклого n-угольника называются
диагонали, которые разбивают его на треугольники, пересекаясь при этом
только в вершинах n-угольника.
Замечание: их существует (n-3).
Определение 2:Дополнительными диагоналями выпуклого n-угольника называются
диагонали, которые в данном разбиении пересекают главные диагонали.
Замечание: их существует менее (n-3).
I.Определение k:
Будем выделять из выпуклого n-угольника
следующим образом: соединяем диагоналями через одну вершину данного n-
угольника, причем выделением считается получение последующего a-угольника
из предыдущего,
используя не менее двух диагоналей. Выделение ведется до тех пор, пока не
получится четырехугольник или треугольник (r = 4 или r = 3 (r – остаточный
коэффициент)). Назовем каждое такое выделение циклом и введем величину,
которая будет “считать” их (d). Для каждого d существует 2d+1
многоугольников, первый многоугольник для данного d ,будет (2d+1+1)-
угольником. Для первой половины (для данного d) многоугольников r = 3, для
второй — r = 4. Последним многоугольником, для которого r = 3 будет (3(2d )-
угольником. Окончательно получаем: r = 3, если n([2d+1+1; 3(2d], в
противном случае r = 4. За каждый цикл, если проводить дополнительные
диагонали, будет добавляться по 2 пересечения и через d циклов число
пересечений достигнет максимума в полученном данным способом разбиении.
Обозначим это число буквой k.
Итак, за 1 цикл 2 пересечения, за 2 цикла – 4, за 3 – 6, очевидна
арифметическая прогрессия с разностью 2, a1=2 и количество членов равным d;
значит k=2+2(d-1)=2d – только в том случае, если конечной фигурой окажется
треугольник. В противном случае k=2d+1, так как четырехугольник имеет
собственную диагональ.
Рассчитаем d: т.к.: d=1, n[pic] [22+1; 23]
d=2, n[pic] [23+1; 24]
d=3, n[pic] [24+1; 25]
…
Зависимость d от n- логарифмическая по основанию 2; становится очевидным
равенство: d=[log2(n-1)]-1. Выразим k через n:
k=2([log2 (n-1)]-1), если n([2[log2(n-1)]+1; 3(2[log2(n-1)]-1]
или
k=2([log2(n-1)]-1)+1= 2[log2 (n-1)]-1, если n([2[log2(n-1)]+1; 3(2[log2(n-
1)]-1]
Так как k – максимум пересечений, то уместны неравенства:
k?2([log2 (n-1)]-1), если n([2[log2(n-1)]+1; 3(2[log2(n-1)]-1]
или
(*)
k?2[log2 (n-1)]-1, если n([2[log2(n-1)]+1; 3(2[log2(n-1)]-1]
II. Найдем число дополнительных диагоналей (m), которые пересекают главные
не более k раз.
выбрали Выделим в данном выпуклом n-угольнике
(k+3)-угольник (k+3)-угольник (если это возможно), зн.
уже ‘использовано’ (n+3)-2=k+1 всех
отбросили существующих треугольников
1 треугольник n-угольника (всего их (n-2)),потом
добавили другой ‘отбросим’ крайний треугольник и
треугольник и ‘добавим’ к получившейся фигуре еще
опять получили один, имеющий общую с ней сторону,
(k+3)-угольник ‘не использованный’ треугольник, тогда
останется (k+2) не использованных
треугольника, и так далее до тех пор, пока не
‘используем’ все (n-2)треугольника. Очевидна арифметическая прогрессия с
разностью 1, am=n-2 и c количеством членов равным m. Получим:n-2=k+1+(m-
1)<=>n-2=k+m<=>m=n-k-2(m=n-(k+2)Значит, в n-угольник можно вписать
(k+3)угольник (n-(k+2))раз, то есть существуют
такие (n-(k+2)) дополнительные диагонали, которые пересекут k главных
диагоналей.
Окончательно получаем: Pkn=(n- (k+2))Аn , где (*).————————
-угольник (где d(N),[pic]
