Государственный университет управления
Институт заочного обучения
Специальность – менеджментКОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: Высшая математика.
Вариант № 1.
Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2Москва, 1999 г.
Содержание
Часть I. 3
Задание №2. Вопрос №9. 3
Задание №3. Вопрос №1. 3
Задание №12. Вопрос №9. 5
Задание №13. Вопрос №2. 5
Задание №18. Вопрос №9 6
Часть II. 9
Задание №8. Вопрос №8. 9
Задание №12. Вопрос №9. 10
Задание №14. Вопрос №2. 10
Задание №15. Вопрос №6. 11
Задание №18. Вопрос №9. 12
Дополнительно Часть I. 13
Задание №7. Вопрос №1. 13
Задание №9. Вопрос №8. 13
Задание №11. Вопрос №6. 14
Задание №15. Вопрос №1. 15
Дополнительно Часть II. 15
Задание №7. Вопрос №1. 15
Задание №9. Вопрос №8. 16
Задание №11. Вопрос №6. 18
Задание №15. Вопрос №1. 18
Часть I.
Задание №2. Вопрос №9.
В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может
иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из
имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.Решение:
|[pic] |машин ежедневно остается в гараже на |
| |профилактическом ремонте. |
|[pic] |машин с водителями ежедневно уходят в рейс. |
|[pic] |водителей из штата гаража ежедневно не выходит в |
| |рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
|[pic] |количество водителей в течение месяца, не |
| |выходящих в рейс из-за профилактического ремонта |
| |автомашин. |
|[pic] |дней в месяц каждый водитель из штата гаража не |
| |выходит в рейс из-за профилактического ремонта |
| |автомашин. ||Ответ: |Каждый водитель из штата гаража в течение месяца |
| |может иметь [pic] свободных дней. |Задание №3. Вопрос №1.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и
найдите координаты точки равновесия, если [pic], [pic].Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения
Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:|С осью OP (Q=0): |С осью OQ (P=0): |
|Для Q=QS(P): |Для Q=QD(P): | |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] | |Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются
прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с
осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика
(рис.1).Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в
которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
[pic], из этой системы получаем: [pic]
[pic]
[pic]
[pic], тогда [pic], значит координаты т.M[pic].|Ответ: |Координаты точки равновесия равны [pic], [pic] |
Задание №12. Вопрос №9.
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите
производные следующих функций:
[pic]Решение:
[pic]
|Ответ: |Производная заданной функции равна [pic] |
Задание №13. Вопрос №2.
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
|числа: |[pic] |Решение:
[pic]
|Ответ: |Приближенное значение заданного числа равно 1,975. |
Задание №18. Вопрос №9
|Исследуйте функцию и постройте ее график: |[pic] |
Решение:
1. Область определения данной функции: [pic].
2. Найдем точки пересечения с осями координат:
|С осью OY [pic]: |С осью OX [pic]: |
|[pic] |[pic], дробь равна нулю, если ее числитель|
| |равен нулю, т.е. |
| |[pic] |
| |[pic] |
| |[pic] |
|Точка пересечения: [pic] |Точки пересечения: [pic], [pic] |3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва.
Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: [pic], где:
[pic][pic]т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение
имеет вид: [pic], т.е. [pic]- уравнение горизонтальной асимптоты.
5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую
производную:
[pic]
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая
производная функции равна нулю, т.е. [pic]:
[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], отсюда
[pic], следовательно [pic], значит точка [pic] — точка экстремума функции.На участке[pic] производная [pic] > 0, значит, при [pic], заданная функция
возрастает.На участке[pic] производная [pic] < 0, значит, при [pic], заданная функция
убывает (рис 2.).Следовательно [pic] — точка максимума заданной функции [pic].
6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем
ее вторую производную:
[pic]
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная
функции равна нулю, т.е. [pic]:
[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], значит
[pic], тогда [pic], отсюда [pic]
Отсюда [pic], [pic].
На участке[pic] производная [pic]>0, значит это участок вогнутости графика
функции.На участке [pic] производная [pic] >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при[pic] график заданной функции является вогнутым.
На участке[pic] производная [pic]<0, значит, при [pic] график заданной
функции является выпуклым (рис. 3).Следовательно, точки [pic], [pic] — точки перегиба графика заданной функции
[pic].Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график
(см. рис. 4).Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Фирма производит товар двух видов в количествах[pic] и[pic]. Задана
функция полных издержек [pic]. Цены этих товаров на рынке равны [pic] и
[pic]. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная
прибыль, найти эту прибыль.
[pic], [pic], [pic]Решение:
Пусть [pic] — функция прибыли, тогда
[pic]
Найдем первые частные производные функции [pic]:
[pic], [pic]. Найдем стационарные точки графика функции [pic]. Для этого
решим систему:
[pic]
[pic]
Следовательно [pic]- стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для
этого
введем обозначения: [pic], [pic], [pic],
тогда [pic], [pic], [pic], [pic]. Т.к. [pic]> 0, то экстремум есть, а т.к.
[pic]< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска [pic]и [pic],
достигается максимальная прибыль равная:
[pic]|Ответ: |[pic] и достигается при объемах выпуска [pic]и [pic]. |
Задание №12. Вопрос №9.
|Вычислить неопределенный интеграл: |[pic] |
Решение:
[pic]
|Ответ: |[pic] |
Задание №14. Вопрос №2.
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)
[pic].Решение:
[pic]
|Ответ: |Данный несобственный интеграл – расходящийся. |
Задание №15. Вопрос №6.|Решить уравнение |[pic] |
Решение:
[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем
полученное уравнение [pic]. Представим [pic], как [pic], тогда
[pic]
[pic]
[pic]|Ответ: |Решением данного уравнения является [pic]. |
Задание №18. Вопрос №9.
|Найти общее решение уравнения: |[pic] |
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: [pic], тогда [pic],
следовательно [pic], [pic], тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
[pic], [pic]
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями
уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений [pic] и [pic],
возьмем [pic], [pic], тогда общее решение однородного уравнения будет иметь
вид: [pic]
Представим правую часть уравнения, как [pic] и сравним с выражением,
задающим правую часть специального вида:
[pic]. Имеем [pic], [pic], тогда т.к. [pic] — многочлен второй степени, то
общий вид правой части: [pic]. Найдем частные решения:
[pic], [pic], [pic][pic]
[pic]
Сравним коэффициенты при [pic] слева и справа, найдем [pic], решив систему:
[pic], отсюда [pic].
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
[pic].|Ответ: |[pic]. |
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Найти предел: [pic].
Решение:
[pic].
|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |
Задание №9. Вопрос №8.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
[pic].Решение:
1. Область определения данной функции: [pic].
2. Т.к. точка [pic] не входят в область значений функции, то это точка
разрыва, а т.к. [pic] и [pic], следовательно, уравнение [pic] – уравнение
вертикальной асимптоты.3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: [pic], где:
[pic]
[pic]
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклоннойасимптоты имеет вид: [pic].
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты [pic] с осями
координат:С осью OX: точка[pic],
с осью OY: точка[pic]|Ответ: |[pic] и [pic] – уравнения асимптот заданной функции.|
Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите: [pic].
Решение:
Т.к. по определению производная функции [pic] в точке [pic] вычисляется
по формуле [pic], тогда приращение [pic] в точке [pic]: [pic].
Следовательно [pic].|Ответ: |[pic]. |
Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: [pic].
Решение:
[pic].
|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Написать в точке [pic] уравнение касательной плоскости к поверхности,
заданной уравнением: [pic].Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции [pic] в точке [pic]
имеет вид: [pic]. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение
поверхности: [pic]. Подставив в полученное уравнение координаты точки [pic]
вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их
приращения, получим:[pic]
[pic].|Ответ: |Уравнение касательной плоскости к заданной |
| |поверхности в заданной точке [pic] имеет вид [pic]. |Задание №9. Вопрос №8.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции [pic] в области:
[pic].Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной
области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в
стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе
области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
[pic], точка [pic] не принадлежит заданной области дифференцирования,
значит стационарных точек внутри области нет, следовательно,
наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области
дифференцирования. Граница области ограничена окружностями [pic] и [pic].
Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области
дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
1. [pic], тогда [pic], [pic], следовательно, система уравнений для
определения координат экстремальной точки имеет вид:
[pic]
Эта система имеет четыре решения:
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |2. [pic], тогда [pic], [pic],
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной
точки имеет вид:
[pic]
Эта система также имеет четыре решения:
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |
|[pic], [pic], |В точке [pic] – точка условного минимума, при этом |
|[pic] |функция [pic]. |Следовательно, заданная функция [pic] в заданной области дифференцирования
достигает наибольшего значения в точках [pic] и [pic] и наименьшего в
точках [pic] и [pic] при этом графики функций [pic] и [pic] касаются
окружности [pic] в точках [pic], [pic] и [pic], [pic] соответственно (см.
рис.6).|Ответ: |Заданная функция [pic] при условии [pic] имеет [pic]|
| |и [pic]. |Задание №11. Вопрос №6.
Вычислить неопределенный интеграл: [pic].
Решение:
[pic]
|Ответ: |Заданный неопределенный интеграл равен [pic]. |
Задание №15. Вопрос №1.
Решить уравнение: [pic].
Решение:
[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем
полученное уравнение:
[pic]
[pic].|Ответ: |Решением данного уравнения является [pic]. |
————————
Рисунок 2.[pic]
Исследование на экстремум.
Рисунок 1.
[pic]График функции спроса и предложения.
Рисунок 4.
[pic]|График заданной функции |[pic] |
Рисунок 3.
[pic]
Исследование на выпуклость.
Рисунок 5.
[pic]
Графики асимптот функции[pic]Рисунок 6.
[pic]
График наибольших/наименьших значений функции [pic] при [pic].
