|Билет№1 |Билет №2 | |
|1)Функция y=F(x) |1)Точка Х0 наз-ся |Билет №3 |
|называется |точкой максимума |1)арксинусом числа а |
|периодической, если |функции f, если для |называется число, для|
|существует такое |всех х из некоторой |которого выполнены |
|число Т, не равное |окрестности точки х0 |следующие два |
|нулю, что для любых |выполнено неравенство|условия: 1)-p/2 <= |
|значений аргумента из|f(x)(f(x0) |arcsin a <= p/2; 2) |
|области определения |Окрестностью точки х0|sin(arcsin a)=a. Из |
|функции выполняются |наз-ся любой |втоого условия |
|равенства |интервал, сод-щий |следует, что |a|<=1 |
|f(x-T)=f(x)=f(x+T). |эту точку. Например, |Пример1. (рис 26) |
|Число Т называется |функция y=-x*x-3 |arcsinSQR3 / 2 = p/3,|
|периодом функции. |имеет точку максимума|так как: 1) –p/2 <= |
|Например, y=sinx – |х0=0. |p/3 <=p/2; 2)sin p/3=|
|периодическая функция|Точка х0 наз-ся |SQR3 / 2 Пример2. |
|(синусоиду нарисуешь |точкой минимума |Arcsin SQR5/2 не |
|сам (а)) Периодом |функции f, если для |имеет смысла, так как|
|функции являются |всех х из некоторой |SQR5 / 2 >1, a arcsin|
|любые числа вида |окрестности х0 |a определён при –1 <=|
|T=2PR, где R –целое, |выполнено неравенство|a <= 1 Определение |
|кроме 0. Наименьшим |f(x0) (f(x) |Арксинусом числа а |
|положительным |Например, функция |называется такое |
|периодом является |y=x+2 имеет точку |число из отрезка |
|число T=2P. Для |минимума х0=0. |[-Пи/2;Пи/2], синус |
|построения графика | |которого равен а. |
|периодической функции| | |
|достаточно построить |2)1)Если (a((1 то |2)Если функция |
|часть графика на |уравнение sinx=a |F-первообразная |
|одном из промежутков |корней не имеет, так |функции f на |
|длинной Т, а затем |как (sinx((1 для |промежутке I, то |
|выполнить |любого х. |функция y=F(x)+C |
|параллельный перенос |2)Пусть (a((1 а) На |(c-const) также |
|этой части графика |промежутке –пи/2;пи/2|является |
|вдоль оси абсцисс на |функция y=sinx |первообразной функции|
|+-Т, +-2Т, +-3Т,… |возрастает, |f на промежутке I. |
| |следовательно по |Любая первообразная |
|2)Степенью числа а, |теореме о корне, |функции f на |
|большего нуля, с |уравнение sinx =a |промежудке I может |
|рациональным |имеет один корень |быть записана в виде |
|показателем r=m/n |x=arcsin a. |F(x)+C. |
|(m-целое |Б) На промежутке |Доказательство. 1) |
|число;n-натуральное, |пи/2;3пи/2 функция |Воспользуемся |
|больше 1) называется |y=sin x убывает, |определением |
|число nSQRa^m, т.е. |значит по теореме о |первообразной: |
|a^m/n = nSQRa^m. |корне ур-ие sin x=a |(F(x)+C)’=F’(x)+C’=f(|
|Степень числа 0 |имеет одно решение |x), следовательно, |
|определена только для|x=пи-arcsin a. |y=F(x)+C – |
|положительных |В) учитывая |первообразная функции|
|показателей; 0^r=0 |периодичность функции|f на промежутке I. 2)|
|для любого r>0. |y= sin x (период |Пусть Ф и F- |
|Свойства степеней с |функции равен 2пи n) |первообразные функции|
|рациональным |решение ур-ия можно |f на промежутке I. |
|показателем Для любых|записать так: |Покажем, что разность|
|рациональных чисел r |х=arcsin a +2пи n |Ф-F равна постоянной.|
|иs и любых |x=пи- arcsin a +2пи n|Имеем (Ф(x) – F(x))’|
|положительных a и b | |= Ф’(x) – |
|справедливы следующие|решение данного ур-ия|F'(x)=f(x)-f(x)=0, |
|свойства. 1) |можно записать в виде|следовательно, по |
|Произведение степеней|следующей формулы |признаку постоянства |
|с одинаковыми |x=(-1)^n arcsin a + |функции на интервале |
|основаниями равно |пи n |Ф(x)-F(x)=C. Значит |
|степени с тем же |при четных n(n=2k) мы|любую первообразную |
|основанием и |получим все решения, |можно записать в виде|
|показателем, равным |записанные первой |F(x)+C. Графики любых|
|сумме показателей |формулой , а при |двух первообразных |
|множителей: a^r * a^s|нечетных n(n=2k+1)- |для функции y=f(x) |
|= a^r+s. |все решения |получаются друг из |
|2) Частное степеней с|записанные второй |друга параллельным |
|одинаковыми |формулой. |переносом вдоль оси |
|основаниями равно | |Ox (рис. 18) |
|степени с тем же | | |
|основанием и | | |
|показателем, равным | | |
|разности показателей | | |
|делимого и делителя: | | |
|a^r : a^s = a^r-s. | | |
|3) При возведении | | |
|степени в степень | | |
|основание оставляют | | |
|прежним, а показатели| | |
|перемножают: (a^r)^s | | |
|= a^rs 4) Степень | | |
|произведения равна | | |
|произведению | | |
|степеней: (ab)^r = | | |
|a^r * b^r. 5) | | |
|Степень частного | | |
|равна частному | | |
|степеней (a/b)^r = | | |
|a^r / b^r. 6) Пусть| | |
|r рациональное число | | |
|и число a больше | | |
|нуля, но меньше числа| | |
|b, 0<a<b, тогда: a^r | | |
|< b^r , если r- | | |
|положительное число; | | |
|r^r > b^r, если | | |
|r-отрицательное | | |
|число.7) Для любых | | |
|рациональных чисел r | | |
|и s из неравенства | | |
|r<s следует, что: a^r| | |
|<a^s при a>1 ; a^r > | | |
|a^s при 0<a<1. | | |
|Докажем свойство 2 | | |
|Пусть r=m/n и s=p/q, | | |
|где n и q – | | |
|натуральные числа, а | | |
|m и p – целые числа. | | |
|По определению | | |
|степени с | | |
|рациональным | | |
|показателем имеем: | | |
|a^m/n : a^p/q = | | |
|nSQRa^m : qSQRa^p. | | |
|Приведём корни к | | |
|одному показателю. | | |
|Для этого | | |
|воспользуемся | | |
|свойством корней n-й | | |
|степени: nSQRa = | | |
|nrSQRa^r, r>0. Имеем:| | |
|nSQRa^m : qSQRa^p = | | |
|nqSQRa^mq : nqSQRa^pn| | |
|= nqSQRa^mq / | | |
|nqSQRa^pn Используя | | |
|свойство частного | | |
|корней, получим: | | |
|nqSQRa^mq / nqSQRa^pn| | |
|= nqSQRa^mq / a^pn = | | |
|nqSQRa^mq-pn. | | |
|Применим определение | | |
|степени с | | |
|рациональным | | |
|показателем: | | |
|nqSQRa^mq-pn = | | |
|a^mq-pn/nq = | | |
|a^mq/nq-pn/nq = | | |
|a^m/n-p/q = a^r-s. | | |
|Билет №4 |Билет№ 5 |Билет №6 |
|1)Арккосинусом числа |1)На интервале |1)Пусть на некотором |
|а называется такое |(-Пи/2;Пи/2) функция |промежутке задана |
|число, для которого |тангенс возрастает и |функция y=f(x); x0 – |
|выполнены следующие |принимает все |точка этого |
|два условия: 1) |значения из R. |промежутка; ?x – |
|0<=arccosa<=p; |Поэтому для любого |приращения аргумента |
|2)cos(arccos a)=a. Из|числа а на интервале |x; x0 + ?X также |
|условия 2 следует, |(-Пи/2;Пи/2) |принадлежит этому |
|что |a|<=1 Пример 1 |существует |промежутку; ?y – |
|(рис 28) |единственный корень b|приращение функции. |
|arccos1/2=p/3, так |уравнения tgx=a. Это |Предел отношения |
|как: 1)0<= p/3 <= p; |число b называют |(если он существует) |
|2) cos p/3 = Ѕ. |арктангенсом числа а |приращения функции к |
|Пример 2. Arccos p не|и обозначают arctga. |приращению аргумента |
|имеет смысла , так |Определение |при стремлении |
|как p ~=3,14 > 1; |Арктангенсом числа а |приращения аргумента |
|arccos a определён |называется такое |к нулю называется |
|при |a|Б=1 |число из интервала |производной функции в|
|2)Показательной |(-Пи/2;Пи/2) тангенс |точке. Пусть |
|функцией называется |которого равен а. |материальная точка |
|функция вида y=a^x, |Пример arctg1=Пи/4, |движется по |
|где а- заданное |так как tgПи/4=1 и |координатной прямой |
|число, а >0, a не |Пи/4((-Пи/2;Пи/2); |по закону x=x(t), |
|равно 1. Свойства |arctg(-SQR3)=-Пи/3, |т.е. координата этой |
|показательной функции|так как |точки x- известная |
|1) Областью |tg(-Пи/4)=-SQR3 и |функция времени t. |
|определения |–Пи/3((-Пи/2;Пи/2). |Механический смысл |
|показательной функции|2)Логарифмической |производной состоит в|
|являются все |функцией называется |том, что производная |
|действительные числа.|функция вида y = loga|от координаты по |
|Это следует из того, |x, где а -заданное |времени есть |
|что для любого x |число, a>0, a не рано|скорость: v(t) = |
|принадлежащего R |1. Свойства |x’(t). |
|определено значение |логарифмической |2)1) Если |a|>1, то |
|степени a^x (при |функции 1) Областью |уравнение cos x = a |
|a>0). 2) Множеством |определения |решений не имеет, так|
|значений |логарифмической |как |cos x|<=1 для |
|показательной функции|функции являются все |любого x. 2) |
|являются все |положительные |Рассмотрим случай |
|положительные |действительные числа.||a|<=1(рис 35) а) На |
|действительные числа:|Это следует из |примежудке [0;Пи] |
|E(y)=(0;+бескон.) 3) |определения логарифма|функция y=cosx |
|а) Показательная |числа b по основанию |убывает, значит, |
|функция y+a^x |a; loga b имеет |уравнение cosx=a |
|возрастает на всей |смысл, если b>0 2) |имеет один корень |
|области определения, |Множеством значений |x=arccos a. |
|если a>1. б) |логарифмической |Учитывается, что |
|Показательная функция|функции являются все |функция y=cos x – |
|Y=a^x убывает на всей|действительные числа.|периодическая с |
|области определения, |Пусть y0 – |периодом 2Пиn, |
|если 0<a<1. Докажем,|произвольное |запишем все решения |
|что если a>1, то |действительное число.|уравнения cosx=a на |
|большему значению |Покажем, что найдётся|промежутке [2Пиn; |
|аргумента (x2>x1) |такое положительное |Пи+2Пиn], n |
|соответствует большее|значение аргумента |принадлежит Z, в виде|
|значение функции |x0, что выполняется |x = arccos a+ 2Пиn, |
|(a^x2 > a^x1). Из |равенство y0 = |где n принадлежит Z. |
|свойств степени |logax0. По |Б) На промежутке |
|известно, если r>s и |определению логарифма|[-Пи; 0] функция y |
|a>1, то a^r >a^s. |числа имеем: x0 = |=cosx возрастает, |
|Пусть х2 > x1 и a > |a^y0, a^y0 > 0. Мы |следовательно, |
|1, тогда a^x2 >a^x1 |показали, что нашлось|уравнение cosx=a |
|(по свойству |значение x0 > 0, при |имеет один корень, а |
|степени). А это |котором значение |именно,x=-arccos a. |
|означает, что функция|логарифмической |Учитывая |
|y=a^x1 при a>1 |функции равно у0 (у0 |периодичность функции|
|возрастает на всей |– произвольное |y= cos. Делаем вывод,|
|области определения. |действительное |что решением |
|Докажем, что если 0 <|число). 3) |уравнения cos x = a |
|a<1, то большему |Логарифмическая |на промежудке |
|значению аргумента |функция обращается в |[-Пи+2Пи; 2Пиn], где |
|(x2>x1) соответствует|нуль при х=1. Решим |n принадлежит Z, |
|меньшее значение |уравнение logax=0. По|являются числа вида |
|функции (a^x2 < |определению логарифма|x=-arccos a + 2 Пиn, |
|a^x1). Из свойств |получаем: a^0 = x, |где n принадлежит Z. |
|степени известно, |т.е. x = 1. 4) а) |Таким образом, все |
|если r>s и 0<a<1, то |логарифмическая |ершения уравнения |
|a^r<a^s. Пусть x2>x1 |функция y=loga x |могут быть записаны |
|и 0<a<1, тогда a^x2 <|возрастает на всей |так: x=+-arccos a + |
|a^x1 (по свойству |области определения, |2Пиn, где n |
|степени). А это |если a>1.Докажем, что|принадлежит Z. |
|означает, что функция|большему значению | |
|y=a^x при 0<a<1 |аргумента (х2 > х1) | |
|убывает на всей |соответствует большее| |
|области определения. |значение функции | |
|4) Нет таких значений|(loga x2 > loga x1), | |
|аргумента, при |если a>1. Пусть x2 > | |
|которых значения |x1 > 0; тогда | |
|показательной функции|используя основное | |
|равны нулю, т.е. у |логарифмическое | |
|показательной функции|тождество, запишем | |
|нет нулей. |это неравенство в | |
|5)Показательная |виде a^logax2 > | |
|функция непрерывна на|a^logax1 . (1) В | |
|всей области |неравенстве (1) | |
|определения. 6) |сравниваются два | |
|Показательная функция|значения | |
|дифференцируема в |показательной | |
|каждой точки области |функции. Поскольку | |
|определения, |при a>1 показательная| |
|производная |функция возрастает, | |
|вычисляется по |большее значение | |
|формуле (a^x)’ = a^x |функции может быть | |
|ln a. (график на |только при большем | |
|рисунке 29) |значении аргумента, | |
| |т.е. logax2 > logax1.| |
| |б)Логарифмическая | |
| |функция y=logax | |
| |убывает на всей | |
| |области определения, | |
| |если 0<a<1. 5) | |
| |Логарифмическая | |
| |функция y=logax: а) | |
| |при a>1 принимает | |
| |положительные | |
| |значения, если x>1; | |
| |отрицательные | |
| |значения, если 0<x<1 | |
| |б) при 0<a<1 | |
| |принимает | |
| |положительные | |
| |значения, если 0<x<1,| |
| |и отрицательные | |
| |значения, если x>1. | |
| |Пусть a>1, тогда | |
| |функция y=logax | |
| |возрастает на всей | |
| |области определения | |
| |(рис. 31); причём | |
| |loga1=0. Из этого | |
| |следует, что: для x>1| |
| |logax > loga1, т.е. | |
| |logax>0; для 0<x<1 | |
| |logax < loga1, т.е. | |
| |logax <0. Пусть | |
| |0<a<1; тогда функция | |
| |y=logax убывает на | |
| |всей области | |
| |определения (рис.32);| |
| |причём loga1=0. Из | |
| |этого следует, что: | |
| |для x>1 logax < | |
| |loga1, т.е. logax < | |
| |0; для 0<x<1 logax >| |
| |loga1, т.е. logax > | |
| |0. 6) Логарифмическая| |
| |функция непрерывна на| |
| |всей области | |
| |определения. | |
|Билет № 7 |Билет №8 |Билет №9 |
|1)Пусть на некотором |1) Пусть ф-ция f(x) |1. Все рациональные и|
|промежутке задана |задана на некотором |дробно-рациональные |
|функция y=f(x); |промежутке, а –точка |ф-ции непрерывны на |
|x0-точка этого |этого промежутка. |всей области |
|промежутка; |Если для ф-ции |определения. Этот |
|?x-приращение |выполняется |факт следует из того |
|аргумента х; точка |приближенное |что рациональные и |
|х0+ ?x принадлежит |равенство f(x) ?f(a) |дробно-рациональные |
|этому промежутку; | |ф-ции дефференцируемы|
|?y-приращение |с любой , наперед |во всех точках своих |
|функции. Предел |заданной точностью, |областей опр-ия. |
|отношения (если он |для всех х , близки х|Например: ф-ция |
|существует) |к а , то говорят , |f(x)=x^3-7X^2+24x |
|приращения функции к |что ф-ция непрерывна |непрерывна на |
|приращению аргумента |в точке а. Иными |множестве |
|при стремлении |словами ф-ция f |действительных чисел;|
|приращения аргумента |непрерывна в точке а |а ф-ция |
|к нулю называется |, если f(x) >f(a) при|g(x)=(x^3+8)/(x-2) |
|производной функции в|х >а. |непрерывна на |
|точке. Пусть задана |Ф-ция непрерывная в |промежутке (-(:2) и |
|дифференцируемая |каждой точке |на промежутке (2;+ ()|
|функция y=f(x) |промежутка наз-ся | |
|(рис.36). |непрерывной на |2. Логарифмом числа b|
|Геометрический смысл |промежутке. |наз-ся показатель |
|производной состоит в|Гр. непрерывной на |степени в к-рую нужно|
|том, что значение |промежутке ф-ции |возвести основание а |
|производной функции в|представляет собой |чтобы получить число |
|точке x0 равно |непрерывную линию. |b. |
|угловому коэффициенту|Иными словами гр. |Из опр-ия имеем: a^ |
|касательной, |можно нарисовать не |logab =b (осн-ое |
|проведённой к графику|отрывая карандаша от |лог-ое тождесто) |
|функции в точке с |бумаги. |Св-ва логарифмов: |
|абсциссой x0: |Например ф-ция |При любом а>0(а(1), |
|f’(x0)=R, где |f(x)=3^x непрерывна в|и любых пол-ных х и у|
|R-угловой коэффициент|точке |выполняются следующие|
|касательной. |х0=2.Действаительно |св-ва: |
|2)1) На промежутке |3^x >3^2, при х>2. |loga1=0 |
|(-Пи.2 ; Пи.2) |Ф-ция f(x)=3^x |logaа=1 |
|функция y=tgx |непрерывна на |loga(ху)= logaХ+ |
|возрастает, значит, |множестве всех |logaУ |
|на этом промежутке, |действительных чисел |Док-во: Воспользуемся|
|по теореме о корне, |, а ее график можно |осн-ным лог-им |
|уравнение tgx=a имеет|нарисовать не отрывая|тождеством |
|один корень, а |карандаша от бумаги. |a ^ logab =b и св-ом |
|именно, x=arctg a |2) Арифметическим |показат-ной ф-ции |
|(рис 37). 2) |корнем n-ой степени |а^ х+у =а^x * а^y |
|Учитывая, что период |из числа а наз-ся |имеем |
|тангенса равен Пиn, |неотрицательное число|а^ loga(xy)=xy= a^ |
|все решения |n-ая степень к-рого |logax *a^ logay =a |
|определяются формулой|равна а. |^logax +logay |
|x=arctg a + Пиn, |Св-ва корней: Для |loga(Х/У)= logaХ- |
|nпринадлежит Z. |любых натуральных n, |logaУ |
| |целого k и любых |logaХ^Р= рlogaХ |
| |неотрицательных чисел|Формула перехода: |
| |a и b выполняются |logaХ= logbX/ logbA |
| |следующие св-ва: | |
| |N sqr ab= n sqr a * n| |
| |sqr b | |
| |n sqr (a/b)= (n sqr | |
| |a)/( n sqr b) b ?0 | |
| |n sqr (k sqr a)= kn | |
| |sqr (a), k> 0 | |
| |n sqr (a) = kn sqr | |
| |(a^k) ,k>0 | |
| |n sqr (a^k)=( n sqr | |
| |a)^k (ели k?0,то а?0)| |
| | | |
| |Для любых | |
| |неотрицательных чисел| |
| |а и b таких, что а <| |
| |b выполняется | |
| |неравенство: | |
| |n sqr a< n sqr b, | |
| |если 0?a<b | |
| |Док-во св-ва №5: По | |
| |опр-нию корня n-ой | |
| |степени (n sqr | |
| |a^k)^n=a^k; (n sqr | |
| |a)^k? 0, так как n | |
| |sqr a? 0. Найдем n-ю | |
| |степень выражения (n | |
| |sqr a)^k. По св-ву | |
| |возведения степени в | |
| |степень ((n sqr | |
| |a)^k)^n=(n sqr | |
| |a)^nk=(( n sqr | |
| |a)^n)^k;по | |
| |определению корня | |
| |n-ой степени ((n sqr | |
| |a)^n)^k=a^k. | |
| |Следовательно n sqr | |
| |a^k=( n sqr a)^k. | |
|Билет №10. |Билет №13 |Билет №14 |
|1. Ф-ция F наз-ся |1) Для того чтобы |1) Пусть задана ф-ция|
|первообразной ф-ции f|найти |y=f(x) ее график |
|на промежутке I, если|наибольшее(наименьшее|изображен на рис 49. |
|для всех значений |) значение ф-ции |Точка х1 является |
|аргумента из этого |y=f(x) имеющее на |точкой максимума , х2|
|промежутка |отрезке [a;b] |является точкой |
|F((x)=f(x). Например |конечное число |минимума, т.е. точки |
|ф-ция F(x)=4x^2+3x-1 |критических точек, |х1 и х2- точки |
|явл-ся первообразной |нужно:1. Найти |экстремума. Значения |
|ф-ции f(x)=12x^3 на |критические точки, |ф-ции в точках |
|множестве всех |принадлежащие |экстремума наз-ся |
|действительных чисел.|отрезку[a;b] ; |экстремумами ф-ции. |
|Действительно |2.найти значения |Например, значения |
|F((x)=12X^2+3 , т.е. |ф-ции в критических |ф-ции y=cos x в |
|F((x)=f(x). |точках принадлежащих |точках x= 2 пи k,где |
|2. Если каждому |отрезку [a;b] ;3. |k ? Z, явл-ся |
|действительному числу|Найти значение ф-ции |экстремумами |
|поставлен в |на концах отрезка;4. |(максимумами)ф-ции,т.|
|соответствие его |Из полученных чисел |е. Ymax=1 |
|тангенс , то говорят |(значения ф-ции в |2) 1.Cos |
|, что задана ф-ция |критических точках и |(a-b)=cos a*cos b |
|тангенс. Обозначается|на концах промежутка |+sin a*sin b; |
|это так: y=tg x. |) выбрать наиболее |2.cos (a+b)=cos a*cos|
|Св-ва:1) Областью |наибольшее |b- sin a*sin b; |
|опр-ния ф-ции явл-ся |(наименьшее) .Пример:|3. sin(a-b)=sin a*sin|
|все действительные |Найти наибольшее и |b- sin b*cos a |
|числа, кроме чисел |наименьшее значение |4. sin (a+b)=sin |
|вида |ф-ции y=x^3 –3x на |a*cos b+sin b*cos a |
|X=пи/2 +пи k, k(Z. |отрезке [-1,5;3] .|Докажем ф-лу (1): |
|Это следует из |1)D(y)=R; 2) найдем |1) проведем радиуо |
|опред-ия тангенса (tg|критические точки |ОА, равный R, вокруг |
|x=sin x/cos x). Нужно|y’ =3x^2 –3; А)y’ = 0|точки О на угол a и b|
|искл-ть числа, при |если 3x^2 -3=0; 3(x^2|(рис50). Получим |
|к-рых знаменатель cos|–1)=0; x=0 или x=1. |радиус ОВ и радиус |
|x=0 т.е. х= пи/2+пи |Б) точек в к-рых |ОС. 2)Пусть |
|k, k(Z. |производная не |В(х1;у1) С(х2;у2). |
|2) Множеством |существует нет. 3) |3) Введем векторы |
|значений ф-ции явл-ся|y(-1)=-1+3=2; |ОВ(х1;у1) , ОС(х2;у2)|
|все действительные |y(1)=1-3=2; | |
|числа:Е(у)=(-(;+(). |y-(-1.5)=(1.5)^3-3* |4)По опр-ию |
|3) Ф-ция явл-ся |(-1.5)=(-1.5)^3+2*1.5|скалярного |
|нечетной ф-цией, т.е.|^2=1.5^2(-1.5+2)=2.25|произведения |
|для любого х(D(y) |*.5=1.125 |ОВ*ОС=х1*х2+у1*у2 (*)|
|выполняется нер-во |y(3)=27-9=18; |5) по опр-ию синуса и|
|tg(-x)=-tg x . |-2<1.125<2<18 |косинуса х1=R*cos a,|
|покажем это, tg |y(1)<y(-1.5)<y(-1)<y(|y1=R*sin a, x2=R* cos|
|(-x)=sin (-x)/cos |3). |b, y2=R*sin b |
|(-x)= -sin x/cos x= |Min [-1,5;3] |6) заменяя в |
|-tg x |y(x)=y(1)=-2 |равенстве(*) |
|4) Ф-ция явл-ся |Max [-1,5;3] |х1,х2,у1,у2, получим |
|периодической с |y(x)=y(3)=18 |ОВ*ОС=R^2*cos a*cos |
|периодом пи k ,где |2) 1.sin a+ sin b =|b+R^2*sin a*sin b |
|k-целое кроме |2 sin (a+b)/2 |(**). 7) По |
|0.Наименьшим |*cos(a-b)/2, |теореме о скалярном |
|положительным |2. sin a- sin b=2 |произведении векторов|
|периодом тангенса |sin(a-b)/2 |ОВ*ОС=|OB|*|OC|*cos? |
|явл-ся число пи. |*cos(a+b)/2, |BOC=R^2 cos?BOC, |
|5) Ф-ция тангенс |3. cos a+ cos b=2 cos|?BOC= a-b(см. рис. |
|принимает значения 0 |(a+b)/2*cos (a-b)/2 |50) или ?BOC= 2 |
|при х=пи k, k(Z. |4. cos a- cos b=-2 |пи-(a-b) (см. рис. |
|Решением ур-ия tg x=0|sin (a+b)/2*sin |51) cos(2 |
|явл-ся числа х=пи k, |(a-b)/2 |пи-(a-b))=cos(a-b) |
|k(Z |1)Пусть a=x+y и b=x-y|следовательно |
|6) Ф-ция tg принимает|из этих равенств |ОВ*ОС=R^2*cos (a-b) |
|положительные |находим: |(***) 8) Из |
|значения при пи |x=(a+b)/2 и y=(a-b)/2|неравенств (**) и |
|k<x<пи/2+ пи k, k(Z. | |(***) получим: |
|Ф-ция tg принимает |2) выведем ф-лы для |R^2*cos(a-b)=R^2* cos|
|отрицательные |суммы и разности |a*cos b+R^2*sin a*sin|
|значения при |синусов. |b. Разделив левую и |
|-пи/2+пи k<x<пи k, |Докажем формулу 1: |правую части на R^2?0|
|k(Z . Промежутки |Воспользовавшись |получим формулу (1) |
|знакопостоянства |формулами синуса |косинуса разности Cos|
|следуют из опр-ия tg |суммы и синуса |(a-b)=cos a*cos b |
|x=sin x/cos x. |разности имеем sin |+sin a*sin b; |
|7) Ф-ция tg |a+sin b = =sin(x+y)+ |С помощью этой |
|возрастает на всей |sin(x-y)= sin x cos |формулы легко вывести|
|области опр-ия т.е. |y+ sin y cos x+ sin |формулу (2) косинуса |
|на промежутках |x* cos y-sin |суммы и (4) синуса |
|(-пи/2+пи k; пи/2 +пи|y*cos x= 2sin x*cos |суммы: |
|k) k(Z |y= 2 |Cos |
| |sin(a+b)/2*cos(a-b)/2|(a+b)=cos(a-(-b))=cos|
| |. Таким образом sin |a*cos(-b)+sin a*sin |
| |a+ sin |(-b)= cos a*cos |
| |b=2sin(a+b)/2*cos(a-b|b-sin a*sin b значит |
| |)/2 |cos(a+b)=cos a*cos b-|
| |Докажем формулу 2: |sin a*sin b. Докажем |
| |Sin a-sin b= sin |формулу (4): sin |
| |(x+y)- sin(x-y)=sin x|(a+b)=cos(пи/2-(a+b))|
| |cos y+ sin y*cos x |=cos((пи/2-a)-b)=cos(|
| |–sin x*cos y+sin |пи/2-a)cos |
| |y*cos x= 2 sin y*cos |b+sin(пи/2-a)sin |
| |x=2 sin(a-b)/ 2 * |b=sin a*cos b+cos |
| |cos(a+b)/2. Таким |a*sin b Значит sin |
| |образом sin a- sin |(a+b)=sin a*cos b+sin|
| |b=2 sin(a-b)/2 |b*cos a |
| |*cos(a+b)/2, |Докажем формулу (3) |
| |3) выведем ф-лы для |Применяя последнюю |
| |суммы и разности |формулу имеем |
| |косинусов. |sin(a-b)=sin(a+(-b))=|
| |Докажем формулу 4: |sin a*cos |
| |Cos a- cos |(-b)+sin(-b)*cos |
| |b=cos(x+y)-cos(x-y)=c|a=sin a*cos b-sin |
| |os x* cos y-sin x* |b*cos a. Значит |
| |sin y-cos x*cos y-sin|sin(a-b)=sin a*cos |
| |x*sin y=-2sin x*sin |b-sin b*cos a. При |
| |y=-2sin(a+b)/2*sin(a-|док-ве формул (1)-(4)|
| |b)/2 Таким образом |были использованы |
| |cos a- cos b=-2 sin |следующие факты:1) |
| |(a+b)/2*sin (a-b)/2 |формулы приведения |
| | |2)ф-ция y=sin |
| | |x-нечетная, ф-ция |
| | |y=cos x-четная. Из |
| | |формул сложения |
| | |пологая b=пи n/2, где|
| | |n ?N, можно вывести |
| | |формулы привидения |
| | |для преобразований |
| | |выражений вида |
| | |cos(пи*n/2 ±a), |
| | |sin(пи*n/2 ±a). |
| | |Например cos(пи*n/2 |
| | |-a)= cos пи/2*cos |
| | |a+sin пи/2*sin |
| | |a=0+sin a=sin a. |
| | |Аналогично выводятся |
| | |следующие формулы: |
| | |Sin (пи-а)=sin a |
| | |Sin (пи+а)=-sin a |
| | |Sin (3 пи/2-а)=-cos a|
| | |и т.п. Из формул |
| | |сложения следуют |
| | |формулы двойного |
| | |аргумента: |
| | |Sin 2a=2sin a*cos a |
| | |Cos 2a=cos^2 a-sin^2 |
| | |a ||Билет №11 |Билет №12 |Билет №15 |
|1)Пусть на отрезке |1)Пусть функция |1.Если производная |
|[a;b] задана |y=f(x) непрерывна на |функции равна 0 на |
|непрерывная и |отрезке [a;b]; |некотором промежутке,|
|неотрицательная |F-первообразная |то эта функция |
|функция y=f(x); |функции. В этом |постоянна на этом |
|S-площадь |случае интеграл (a;b)|промежутке. |
|соответствующей |f(x)dx = F(b) – F(a).|Если g((x)=0 на |
|криволинейной |Пример Вычислить : |некотором промежутке |
|трапеции (рис42). Для|Интеграл (0;Пи)cos(2x|то касательная к |
|вычисления площади S |– Пи/4) dx = Ѕsin(2x |графику функции |
|разобьём отрезок |– Пи/4)|(0;Пи)= |y=g(x), например |
|[a;b] на n равных |Ѕsin(2Пи — Пи/4) – |g(x)=6 в каждой точке|
|отрезков, длинна |Ѕsin(-Пи/4)=Ѕsin(-Пи/|данного промежутка |
|каждого отрезка |4) + |параллельна оси ОХ. |
|[Xj;Xj+1] равна b-a /|Ѕsin(Пи/4)=-SQR2/4 + | |
|n; на каждом из |SQR2/4 = 0. | |
|отрезков построим |2)Если каждому |2.Если f- непрерывная|
|прямоугольник, высота|действительному числу|и неотрицательная |
|которого равна |поставить в |функция на |
|значению функции |соответствие его |отрезке(а;b(, то |
|f(Xj); площадь такого|косинус, то говорят, |площадь |
|прямоугольника равна |что задана функция |соответствующей |
|f(Xj)* ?X=f(Xj) * b-a|косинус. Свойства |криволинейной |
|/ n. При увеличении |функции косинус |трапеции можно выч-ть|
|числа промежутков, на|1)D(y)=R Каждому |по формуле |
|которые разбивается |действительному числу|S=F(b)-F(a) |
|отрезок [a;b], |х соответствует |Док-во: |
|ступенчатая фигура, |единственная точка |Пусть y=S(x) –площадь|
|состоящяя из |единичной окружности |криволинейной |
|прямоугольников, |Рх, получаемая |трапеции, имеющей |
|будет «мало |поворотом точки Р0 |основание (a;x( где |
|отличатся» от |(1;0) на угол х |x((а;b(, заметим что |
|криволинейной |радиан. Точка Рх |S(a)= 0 S(b)=S |
|трапеции, и если |имеет абсциссу, |Покажем что |
|Sn-сумма площадей |равную cos x. |y=S(x)-первообразная |
|всех прямоугольников,|Следовательно, для |ф-ция y=f(x) |
|то Sn~=S. В курсе |любого х определено |т.е. S((x)=f(x) что |
|математического |значение функции |бы найти производную |
|анализа показывается,|y=cosx. 2)Множеством|ф-ции y=S(x), |
|что для любой |значений функции |воспользуемся опр-ем |
|непрерывной на |косинус является |производной: |
|отрезке [a;b] функции|промежуток [-1;1], |а) зададим преращение|
|y=f(x) существует |т.е. E(y)=[-1;1]. Это|?x (пусть ?x (0) |
|число, к которому |следует из |б) найдем приращение |
|стремится сумма |определения косинуса:|ф-ции |
|площадей |абцисса любой точки |?S=S(x+?x)-S(x) |
|прямоугольников при |единичной окружности |в) составим |
|неограниченном |удовлетворяет условию|соотношение |
|увеличении n(n > |–1<=Xpx <=1, т.е. |?S/?x=S(x+?x)-S(x)/ |
|?)). Это число |–1<= cosx<=1. |?x |
|называют интегралом, |3)Функция косинус |г) выясним чему равен|
|т.е. Sn > integral |является чётной, т.е.|предел отношения при |
|(a;b) f(x) dx при n> |для любого x ? R |?x(0Разность |
|? |выполняется равенство|S(x+?x)-S(x) равна |
|2)Если каждому |cos(-x)=cosx. Пусть |площади криволинейной|
|действительному числу|точка Рх получина при|трапеции с основанием|
|поставлен в |повороте точки Ро на |(x; x+?x( |
|соответствие его |х радиан, а точка |Если ?x(0 то эта |
|синус, то говорят, |Р-хполучина при |площадь |
|что задана функция |повороте точки Р0 на |приблизительно равна |
|синус (обозначение |–х радиан(рис46). |площади |
|y=sin x). Свойства |Треугольник ОрхР-х |прямоугольника f(x)* |
|функции синус 1) |является |?x т.е. |
|Область определения |равнобедренным; ON – |S(x+?x)-S(x) (f(x) * |
|функции синус |биссектриса угла |?x |
|является множество |РхР-х, значит, |Имеем |
|всех действительных |является и высокой, |S(x+?x)-S(x)/ ?x |
|чисел, т.е. D(y)=R. |проведённой к стороне|(f(x) |
|Каждому |РхР-х. Из этого |При ?x(0. Этим |
|действительному числу|следует, что точки Рх|показано что |
|х соответствует |и Р-х имеют одну и ту|S((x)=f(x) |
|единственная точка |же абсциссу ON, т.е. |3)Равенство S((x) |
|единичной окружности |cos(-x)=cosx. |=f(x) означает что S-|
|Px, получаемая |4)Функция косинус |первообразная |
|поворотом точки |является |функцииf на заданном |
|P0(1;0) на угол, |периодической с |промежутке. |
|равный х радиан. |периодом 2ПиR, где |3)По основному св-ву |
|Точка Рх имеет |R-целое, кроме 0. |первообразной имеем |
|ординату, равную |Наименьшим |F(x)=S(x)+C, где F- |
|sinx. Следовательно, |положительным |какая-либо |
|для любого х |периодом косинуса |первообразная для f. |
|определено значение |являеися число 2Пи. |При x=a получим ,что |
|функции синус. 2) |Каждому | |
|Множеством значений |действительному числу|F(a)=S(a)+C т.е. |
|функции синус |вида x+2ПиR, где |C=F(a). |
|является промежуток |R?Z,соответствует |При x=b имеем |
|[-1;1], т.е. |единственная точка |F(b)=S(b)+F(a) |
|E(y)=[-1;1]. Это |единичной окружности |Следовательно |
|следует из |Рх+2ПиR, получаемая |S=S(b)=F(b)-F(a) |
|определения синуса: |поворотом точки Р0 | |
|ордината любой точки |(1;0) на угол | |
|единичной окружности |(x+2ПиR) радиан. | |
|удовлетворяет условию|Точка Рх+2ПиR имеет | |
|–1 <= Ypx<=1, т.е. |абсциссу, равную cosx| |
|–1<=sin x<=1 |или cos(x+2ПиR), где | |
|3)Функция синус |R?Z. Таким образом, | |
|является нечётной, |cosx=cos(x+2ПиR). При| |
|т.е. для любого х |R=1 имеем | |
|принадлежащего R |cosx=cos(x+2Пи), | |
|выполняется равенство|следовательно, число | |
|sin(-x)=-sinx. Пусть |2Пи является периодом| |
|точка Рх получена при|функции косинус. | |
|повороте точки Р0 на |Покажем, что 2Пи – | |
|х радиан, а точка Р-х|наименьший | |
|получена при повороте|положительный период.| |
|точки Р0 на –х радиан|Пусть Т-положительный| |
|(рис 43). Треугольник|период косинуса; | |
|ОрхР-х является |тогда cos(x+T) = cosx| |
|равнобедренным; |при любом значении х.| |
|ON-биссектриса угла |Это равенство должно | |
|РхОР-х, значит, ON |быть верно и при х=0,| |
|является медианой и |т.е. cosT = cos0=0, | |
|высотой, проведённой |следовательно, | |
|к стороне РхР-х. |cosT=0. Но cosT=0, | |
|Следовательно, PxN = |если T=2ПиR, где R?Z.| |
|P-xN, т.е. ординаты |Наименьшее | |
|точек Рх и Р-х |положительное число | |
|одинаковы по модулю и|вида 2ПиR есть 2Пи. | |
|противоположны по |5)Функция косинус | |
|знаку. Это означает, |принимает значение | |
|что sin(-x)=-sinx. |нуль при х=Пи/2 + | |
|4) Функция синус |ПиR, где R?Z. | |
|является |Решением уравнения | |
|периодической с |cosx=0 являются числа| |
|периодом 2ПиR, где R-|х+Пи/2+ПиR, где R?Z. | |
|целое. Кроме 0. |6)Функция косинус | |
|Наименьшим |принимает | |
|положительным |положительные | |
|периодом синуса |значения при –Пи/2 + | |
|является число 2Пи. |2ПиR<x<Пи/2 + 2ПиR, | |
|Каждому |где R?Z. Функция | |
|действительному числу|косинус принимает | |
|вида x+2ПиR, где R |отрицательные | |
|принадлежит Z, |значения при Пи/2 + | |
|соответствует |2ПиR<x<3Пи/2 + 2ПиR, | |
|единственная точка |где R?Z. Промежутки | |
|единичной окружности |знакопостоянства | |
|Рх + 2ПиR, получаемая|(рис47) следуют из | |
|поворотом точки |определения косинуса.| |
|Р0(1;0) на угол |7)Функция косинус | |
|x+2ПиR имеет |возрастает на | |
|ординату, равную sinx|промежутках [-Пи + | |
|или sin(x+2ПиR). |2ПиR; 2ПиR], где R?Z,| |
|Таким образом, |и убывает на | |
|sin(x+2ПиR)=sinx. |промежутках [2ПиR; | |
|Этим показано, что |Пи+2ПиR], где R?Z. | |
|числа вида 2ПиR, где |Чтобы доказать | |
|R- целое, кроме 0, |утверждение о | |
|являются периодом |промежутках | |
|функции. При R=1 |возрастания функции | |
|имеем |косинус, заметим, что| |
|sin(x+2Пи)=sinx, |cosx=sin(Пи/2+х). | |
|следовательно, число |Функция y+sin(Пи/2 + | |
|2Пи также является |х) возрастает, если | |
|периодом функции |–Пи/2 + 2ПиR<=Пи/2 + | |
|синус. Покажем, что |x<=Пи/2 + 2ПиR, где | |
|2Пи-наименьшее |R?Z; т.е. если –Пи + | |
|положительное число, |2ПиR, где R?Z; т.е. | |
|являющееся периодом |если | |
|функции синус. Пусть |–Пи+2ПиR<=x<=2ПиR, | |
|Т – положительный |где R?Z. Поскольку | |
|период функции синус;|sin(Пи/2 + х)=cosx, | |
|тогда sin(x+T)=sinx |функция y=cosx | |
|при любом х. Это |возрастает, если | |
|равенство верно и при|–Пи+2ПиRR<=x<=2ПиR, | |
|x= Пи.2, т.е. |где R?Z. Аналогично | |
|sin(пи/2 + T)=sin |обосновывается | |
|Пи/2 = 1. Но |утверждение о | |
|sinx=1,если x= Пи/2 +|промежутках убывания | |
|2Пиn, где n |функции. 8)Функция | |
|принадлежит Z. |косинус имеет | |
|Наименьшее |максимумы, равные 1,| |
|положительное число |в точках 2ПиR, где | |
|вида 2Пиn есть 2Пи. |R?Z. Функция косинус | |
|5) Функция синус |имеет минимумы, | |
|принимает значение |равные –1, в точках | |
|нуль при x=ПиR, где R|Пи+2ПиR, где R?Z. | |
|принадлежит Z. |Покажем, что функция | |
|Решением уравнения |y=cosx имеет | |
|sinx=0 являются числа|максимумы в точках | |
|x=ПиR, где R |2ПиR, где R?Z. | |
|принадлежит Z. 6) |Замечая, что | |
|Функция синус |cosx=sin(Пи/2 + х), | |
|принимает |найдём точки | |
|положительные |максимума функции | |
|значения при |y=sin(Пи/2+x). Её | |
|2ПиR<x<Пи+2ПиR, где R|точки максимума Пи/2 | |
|принадлежит Z. |+ х=Пи/2+2ПиR, где | |
|Функция синус |R?Z, т.е. x=2ПиR, где| |
|принимает |R?Z. Максимум функции| |
|отрицательные |косинус равен 1. | |
|значения при |Аналогично проводятся| |
|Пи+2ПиR<x<2Пи+2ПиR, |рассуждения о точках | |
|где R принадлежит Z. |минимума. 9)Функция | |
|Промежутки |косинус непрерывна на| |
|знакопостоянства |всей области | |
|(рис44) следует из |определения.10) | |
|определения синуса. |Функция косинус | |
|7) Функция синус |дифференцируема в | |
|возрастает на |каждой точке области | |
|промежутках [-Пи/2 + |определения; | |
|2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], |производная функции | |
|где R принадлежит Z, |косинус вычисляется | |
|и убывает на |по формуле | |
|промежутках [Пи/2 + |(cosx)’=-sinx. | |
|2ПиR; 3Пи/2 + ПиR], | | |
|где R принадлежит Z | | |
|Докажем, что функция | | |
|синус возрастает на | | |
|промежутке [-Пи/2; | | |
|Пи/2]. Пусть | | |
|х1принадлежит [-Пи | | |
|/2; Пи /2] и х2>x1. | | |
|Сравним два значения | | |
|функции: sinx2 – | | |
|sinx1 = 2cos x1+x2/2 | | |
|* sin x2-x1/2; 0< | | |
|x2-x1/2 <= Пи/2, | | |
|-Пи/2 < x1+x2/2< | | |
|Пи/2, поэтому, | | |
|учитывая промежутки | | |
|знакопостоянства | | |
|синуса и косинуса, | | |
|имеем sin x2-x1/2 > | | |
|0, cos x1+x2/2>0. | | |
|Таким образом, | | |
|sinx2-sinx1>0, | | |
|значит, большему | | |
|значению аргумента | | |
|соответствует большее| | |
|значение функции, | | |
|т.е. функция синус | | |
|возрастает на | | |
|промежутке [-Пи/2; | | |
|Пи/2]. В силу | | |
|периодичности синуса | | |
|можно утверждать, что| | |
|синус возрастает на | | |
|промежутках [-Пи/2 + | | |
|2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], | | |
|где R принадлежит Z. | | |
|8) Функция синус | | |
|имеет максимумы , | | |
|равные 1, в точках | | |
|Пи/2 + 2ПиR, где где | | |
|R принадлежит Z. | | |
|Функция Синус имеет | | |
|минимумы, равные –1, | | |
|в точках 3Пи/2 + | | |
|2ПиR, где R | | |
|принадлежит Z. | | |
|Покажем, что точка | | |
|х0=Пи/2 является | | |
|точкой максимума. | | |
|Функция синус | | |
|возрастает на | | |
|промежутке [-Пи/2; | | |
|Пи/2], т.е. | | |
|sinx<sinПи/2 для | | |
|любого х | | |
|принадлежащего [-Пи/2| | |
|; пи/2]. Функция | | |
|синус убывает на | | |
|промежутке [Пи/2; | | |
|3Пи/2], т.е. sin x < | | |
|sin Пи/2 для любого х| | |
|принадлежащего [Пи/2;| | |
|3Пи/2]. Ледовательно,| | |
|х0+Пи/2 является | | |
|точкой максимума (по | | |
|определению), а | | |
|значение sinx=1 | | |
|является максимумом. | | |
|В силу периодичности | | |
|функции синус можно | | |
|утверждать, что в | | |
|точках Пи/2 + 2ПиR, | | |
|где R принадлежит Z, | | |
|функция имеет | | |
|максимум, равный 1. | | |
|9) Функции арксинус | | |
|дифференцируема в | | |
|каждой точке области | | |
|определения; | | |
|производная | | |
|вычисляется по | | |
|формуле (sin | | |
|x)’=cosx. (рис 45) | | |
| | |Билет №16 |
| | |1)Пусть задана |
| | |функция y=f(x), |
| | |дифференцируемая в |
| | |каждой точке |
| | |промежутка I, точки a|
| | |и b принадлежат этому|
| | |промежутку. На |
| | |интервале (a;b) |
| | |найдётся такая точка |
| | |с, для которой |
| | |выполняется равенство|
| | |f’(x)= f(b)-f(a)/b-a.|
| | |Геометрически этот |
| | |факт можно |
| | |истолковать следующим|
| | |образом. Пусть |
| | |функция y=f(x) |
| | |дифференцируема на |
| | |некотором промежутке.|
| | |Точки a и b |
| | |принадлежат этому |
| | |промежутку; через |
| | |точки A(a;f(a)) и |
| | |B(b;f(b)) проведена |
| | |секущая. Тогда на |
| | |интервале (a;b) |
| | |найдётся такая точка |
| | |с, что угловой |
| | |коэффициент |
| | |касательной, |
| | |проведённой через |
| | |точку (с; f(c)), |
| | |будет равен угловому |
| | |коэффициенту секущей |
| | |АВ (рис 55). |
| | |2)Функция заданная |
| | |формулой f(x)=x^a, |
| | |называется степенной.|
| | |Свойства степенной |
| | |функции при а>1 |
| | |1)D(f)=[0;+(], если а|
| | |не является |
| | |натуральным числом. |
| | |Это следует из |
| | |определения степени с|
| | |рациональным |
| | |показателем. Если а |
| | |натуральное число, то|
| | |D(f)=(-(;+() по |
| | |определению степени с|
| | |натуральным |
| | |показателем. |
| | |2)E(f)=[0;+() для |
| | |всех а>1, кроме а= |
| | |2R+1. Где R(N. Это |
| | |следует из |
| | |определения степени с|
| | |рациональным |
| | |показателем. |
| | |E(f)=(-(;+() для |
| | |нечётных а,т.е. |
| | |а=2R+1, где R(N. |
| | |3)Если а-чётное |
| | |натуральное число, то|
| | |данная функция |
| | |является чётной. Т.к.|
| | |f(-x)=(-x)^2R = |
| | |((-x)^2)^R= (x^2)^R =|
| | |x^2R = f(x). Если |
| | |а-нечётное |
| | |натуральное число. то|
| | |данная функция |
| | |является нечётной, |
| | |так как |
| | |f(-x)=(-x)^2R+1 + |
| | |(-x)^2R (-x)= x^2R * |
| | |(-x)=-x^2R * x+ |
| | |-x^2R+1 + -f(x). |
| | |4)При х=0 функция |
| | |f(x)=0, так как 0^a =|
| | |0 при а>0. 5)При x>0 |
| | |функция f(x)>0. Это |
| | |следует из |
| | |определения степени с|
| | |рациональным |
| | |показателем. При |
| | |нечётных а(а=2R+1, |
| | |R(N), если х<0, |
| | |функция принимает |
| | |отрицательные |
| | |значения. Так как |
| | |x^2R+1+x^2R, x^2R>0, |
| | |но x<0, |
| | |следовательно, |
| | |произведение x^2R |
| | |x<0, т.е. f(x)<0 при |
| | |x<0. 6) Функция |
| | |является возрастающей|
| | |на промежутке [0;+() |
| | |для любого a>1. Из |
| | |свойства степени с |
| | |рациональным |
| | |показателем |
| | |(r-рациональное число|
| | |и 0<a<b, тогда |
| | |a^r<b^r при r>0) |
| | |следует, что |
| | |x1^a<x2^a. Таким |
| | |образом, меньшему |
| | |значению аргумента |
| | |соответствует меньшее|
| | |значение функции, |
| | |т.е. функция y=f(x) |
| | |возрастает на |
| | |промежутке [0;(). |
| | |Докажем, что если ф- |
| | |нечётное число, то |
| | |функция возрастает и |
| | |на промежутке (-(;0] |
| | |(рис56б). Пусть |
| | |x1<x2<0, тогда x1^a< |
| | |x2^a по определению |
| | |степени с целым |
| | |отрицательным |
| | |показателем. Т.е. |
| | |данная функция |
| | |возрастает по |
| | |определению |
| | |возрастающей на |
| | |промежутке функции. |
| | |Аналогично можно |
| | |доказать, что функция|
| | |y=f(x) на промежутке |
| | |(-(;0] убывает, если |
| | |а – чётное целое |
| | |(рис56а). |
| |Билет №17 | |
| |Пусть задана сложная | |
| |ф-ция g(x)=f(kx+b). | |
| |Если ф-ция f имеет | |
| |производную в точке | |
| |kx0+b, то производную| |
| |ф-ции g можно найти | |
| |по формуле | |
| |g((x0)=kf((kx0+b). | |
| |Например найдем | |
| |производную ф-ции | |
| |g(x)=(7x-9)^19 | |
| |g((x)=7*19(7x-9)^18=1| |
| |33(7x-9)^18 | |
| |2. Правило 1. Если F-| |
| |первообразная ф-ции | |
| |f, а G- | |
| |первообразная ф-ции | |
| |g, то F+G является | |
| |первообразная ф-ции | |
| |f+g. | |
| |Док-во: Воспользуемся| |
| |опр-ием первообразной| |
| |, т.е. найдем | |
| |производную ф-ции | |
| |F+G. | |
| |(F+G)(=F(+G(=f+g | |
| |Правило 2. Если F- | |
| |первообразная ф-ции | |
| |f, а k –постоянная , | |
| |то kF- первообразная | |
| |ф-ции kf. | |
| |Док-во: Воспользуемся| |
| |опр-ием первообразной| |
| |, т.е. найдем | |
| |производную ф-ции | |
| |kF. | |
| |(kF)(=kF(=kf | |
| |Правило 3. Если | |
| |y=F(x)- первообразная| |
| |ф-ции | |
| |y=f(x),а k и b- | |
| |постоянные, причем | |
| |k(0 то ф-ция | |
| |y=1/k*f(kx+b) явл-ся | |
| |первообразной ф-ции | |
| |y=f(kx+b) | |
| |Док-во: Воспользуемся| |
| |опр-ием первообразной| |
| |, т.е. найдем | |
| |производную ф-ции | |
| |y=1/k*F(kx+b) | |
| |(1/k*F(kx+b))(=1/k*F(| |
| |(kx+b)*k=F((kx+b)=f(k| |
| |x+b) | |
|Билет № 18. |Билет №19 |Билет №20 |
|1.Пусть материальная |1.Функция y=F(x) |1)Изобразим в |
|точка движения по |называется |прямоугольной системе|
|координатной прямой |периодической, если |координат графики |
|по закону x=x(t), |существует такое |следующих |
|т.е. координата точки|число Т, не равное |показательных |
|– известная ф-ия |нулю, что для любых |ф-ий:y=(3/2), y=2, |
|времени. За |значений аргумента из|y=(5/2), y=3 |
|промежуток времени ?t|области определения |Все графики проходят |
|перемещение точки |функции выполняются |через точку M(0;1). |
|равно ?x, а средняя |равенства |Проведём касательные |
|скорость vср=?x/?t. |f(x-T)=f(x)=f(x+T). |к графикам в этой |
|Если движение таково,|Число Т называется |точке. Измерим углы |
|что при ?t(0 значение|периодом функции. |наклона касательных к|
|средней скорости |Например, y=sinx – |оси абсцисс. У |
|стремится к |периодическая функция|касательных к |
|некоторому |(синусоиду нарисуешь |графикам ф-ии |
|определённому числу, |сам (а)) Периодом |y=(3/2), y=2, y(5/2) |
|то это число называют|функции являются |углы с положительным |
|мгновенной скоростью |любые числа вида |направлением оси Ох |
|(?x/?y ( vмгн, при |T=2PR, где R –целое, |меньше 45(. У |
|?t(0). Но по |кроме 0. Наименьшим |касательной к графику|
|определению |положительным |ф-ии y=3 этот угол |
|производной ?x/?y ( |периодом является |больше 45(. Наличие у|
|x’ при ?t(0. |число T=2P. Для |показательной ф-ии |
|Мгновенная скорость |построения графика |y=e (e=2.71828…) |
|определена для любой |периодической функции|касательной, |
|дифференцируемой |достаточно построить |проведёной в точке |
|ф-ии, описывающей |часть графика на |M(0;1) и образующей с|
|перемещение точки по |одном из промежутков |положительным |
|прямой. Чтобы найти |длинной Т, а затем |направлением оси |
|скорость движения v, |выполнить |абсцисс угол в 45, |
|нужно определить |параллельный перенос |означает, что |
|производную от |этой части графика |производная в точке |
|координаты по |вдоль оси абсцисс на |х0 =0 равно 1. |
|времени, т.е. |+-Т, +-2Т, +-3Т,… |Натуральным |
|v(t)=x’(t). Пример. | |логарифмом называется|
|Координата точки, | |логарифм по основанию|
|движущейся по прямой,|2. Если ф-ия u и v |е. Натуральный |
|задана формулой |дифференцируемы в |логарифм обозначается|
|x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) |некоторой точке, то |знаком ln, т.е. log |
|– перемещение в |их сумма |x=ln x. |
|метрах, t- время в |дифференцируема в |2. Если производная |
|секундах). Найти |этой же точке и |ф-ии положительна в |
|скорость точки в |производная суммы |каждой точке |
|момент времени t=2c. |равна сумме |интервала, то ф-ия |
|Имеем: |производных: |возрастает на этом |
|v(t)=x’(t)=4t-3; |(u+v)’=u’+v’. |интервале. |
|v(2)=4*2-3=5 (м/с). |Доказательство. |Доказательство: Ф-ия |
|2. Таблица |Найдём производную |y= f(x) называется |
|первообразных |суммы по определению |возрастает, если |
|элементарных ф-ий. |производной. |большему значению |
|Билет № 18. |Пусть задана точка |аргумента |
|1.Пусть материальная |x0, ?x-приращение |соответствует большее|
|точка движения по |аргумента. |значение ф-ии. |
|координатной прямой |2) Вычислим |Известно, что |
|по закону x=x(t), |приращение ф-ии: |значения |
|т.е. координата точки|?(u+v)=u(x0+?x)+(x0+?|дифференцируемой на |
|– известная ф-ия |x)–(u(x0)+v(x0))=u(x0|интеграле ф-ии, |
|времени. За |+?x)-u(x0)+v(x0+?x )-|значения производной |
|промежуток времени ?t|v(x0)= ? u+? v. |связываются формулой |
|перемещение точки |3)Найдём отношение |Лагранжа: если ф-ия |
|равно ?x, а средняя |приращения ф-ии к |y=f(x) |
|скорость vср=?x/?t. |приращению аргумента:|дифференцируема на |
|Если движение таково,| |некотором промежутке,|
|что при ?t(0 значение|?(u+v)/?x=(?u+?v)//?x|точки x1 и x2 |
|средней скорости |=?u //?x +?v/?x. |принадлежат |
|стремится к |4) Выясним, к чему |промежутку (x1< x2),|
|некоторому |стремится разносное |то на интеграле |
|определённому числу, |отношение при ?x(0 |(х1;х2) найдется |
|то это число называют|?u/?x+?v?x (u’+v’ при|такая точка с, для |
|мгновенной скоростью |?x(0 |которой выполняется |
|(?x/?y ( vмгн, при | |равенство |
|?t(0). Но по | |f’(c)=(f(x2)-f(x1))/(|
|определению | |x2-x1). |
|производной ?x/?y ( | |Пусть производная |
|x’ при ?t(0. | |ф-ии принимает |
|Мгновенная скорость | |положительные |
|определена для любой | |значения на интеграле|
|дифференцируемой | |I, т.е. |
|ф-ии, описывающей | |f’(x)>0.Возьмем два |
|перемещение точки по | |знацения аргумента x1|
|прямой. Чтобы найти | |и x2,принадлежащие |
|скорость движения v, | |этому интегралу, |
|нужно определить | |причём х1<х2. Сравним|
|производную от | |значения этой ф-ии в |
|координаты по | |точках х1 и х2. По |
|времени, т.е. | |формуле Лагранжда |
|v(t)=x’(t). Пример. | |найдётся такое |
|Координата точки, | |значения с ( (х1:х2),|
|движущейся по прямой,| |для которой |
|задана формулой | |выполняется равенство|
|x(t)=2t^2-3t+1 (x(t) | | |
|– перемещение в | |F’(c)=(f(x2)-f(x1))/(|
|метрах, t- время в | |x2-x1). |
|секундах). Найти | |Из этого условия |
|скорость точки в | |следует, что |
|момент времени t=2c. | |f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2|
|Имеем: | |-x1). |
|v(t)=x’(t)=4t-3; | |Заметим, что f(c)>0 |
|v(2)=4*2-3=5 (м/с). | |(по условию), значит,|
|2. Таблица | |f’(c)*(x2-x1)>0, т.е.|
|первообразных | |разность значению |
|элементарных ф-ий. | |аргумента |
| | |соответствует большее|
| | |значение ф-ии, т.е. |
| | |ф-ия |
| | |y=f(x) является |
| | |возрастающей. |
| | |Аналогично |
| | |показывается |
| | |достаточное условия |
| | |ф-ии. |
|Ф-ия |y=x^n|y=si|y=|
| |, n(1|n x |co|
| | | |s |
| | | |x |
|Общий|(x^(n|-cos|Si|
|вид |+1))/|x+C |n |
|перво|(n+1)| |x+|
|образ|+C | |C |
|ных | | | |
|Ф-ия |y=e^x|y=a^|Y=|
| | |x |1/|
| | | |x |
|Общий|e^x+C|(a)/|ln|
|вид | |ln |x |
|перво| |a+C |+C|
|образ| | | |
|ных | | | |
