Постановка задачи
Целью данного исследования является
изучение изменения выработки рабочего (млн. руб.) под действием следующих
факторов:
1.  Выполнение норм выработки, %
2.  Удельный вес рабочих, невыполняющих
нормы, %
3.  Вооруженность рабочего активной
частью основных фондов, руб/чел
4.  Электровооруженность труда рабочего,
кВтчас/чел
5.  Удельный вес обновленных основных
фондов, %
Выдвинем гипотезы о характере
зависимости между факторами и результирующим показателем:
I. Зависимость между выполнением нормы выработки и выработкой рабочего:
— Выполнение норм выработки
увеличилось – объем выработки рабочего увеличился.
— Выполнение норм выработки
увеличилось – объем выработки рабочего не изменился.
— Выполнение норм выработки
увеличилось – объем выработки рабочего уменьшился.
II. Зависимость между удельным весом
рабочих, невыполняющих нормы, и выработкой рабочего:
— Удельный вес рабочих, невыполняющих
нормы, увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
— Удельный вес рабочих, невыполняющих
нормы, увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
— Удельный вес рабочих, невыполняющих
нормы, увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
III. Зависимость между вооруженностью рабочего активной частью основных
фондов и выработкой рабочего:
— Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего
увеличился.
— Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего
не изменился.
— Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего
уменьшился.
IV. Зависимость между электровооруженностью
труда рабочего и выработкой рабочего:
— Электровооруженность труда рабочего
увеличилась – объем выработки рабочего увеличился.
— Электровооруженность труда рабочего
увеличилась – объем выработки рабочего не изменился.
— Электровооруженность труда рабочего
увеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.
V. Зависимость между удельным весом обновленных фондов и выработкой
рабочего:
— Удельный вес обновленных основных
фондов увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
— Удельный вес обновленных основных
фондов увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
— Удельный вес обновленных основных
фондов увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
Проверка требований, предъявляемых к
исходным данным
1. Проверим данные на однородность.
Используя коэффициент вариации (который должен быть меньше или равен 0,33), мы
можем сказать, что следующие факторы являются неоднородными:
—  
Удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, %
—  
Удельный вес
обновленных основных фондов, %
2. Проверим достаточность наблюдений.
Для этого должно выполняться соотношение n-p — 1>30 или n/p≥4(3), получаем, что 35-5-1<30 или 35/5≥4(3),
поэтому наши факторы нельзя считать достаточными.
3. Определим форму зависимости и
тесноту связи между факторами и результирующим показателем. Для этого построим
поля корреляции и рассчитаем корреляционную матрицу. Cвязь между выработкой рабочего и:
· 
выполнением норм выработки прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
· 
удельным весом рабочих, невыполняющих нормы обратная и достаточно тесная
(r ≈ — 0,88)
· 
вооруженностью рабочего активной частью основных фондов прямая и
достаточно тесная (r ≈ 0,97)
· 
электровооруженностью труда рабочего прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
· 
удельным весом обновленных основных фондов прямая и слабая (r ≈ 0,06)
Далее проведем
анализ существенности факторов, оставляя наиболее значимые для нашей модели. В
итоге получаем, что у нас остается только 3 фактора: удельный вес рабочих,
невыполняющих нормы, вооруженность рабочего активной частью основных фондов,
электровооруженностью труда рабочего, которые наименее зависимы друг от друга и
наиболее сильно влияют на наш результирующий показатель.
На основе этих выводов
начинаем расчет параметров регрессионной модели.
регрессионный
модель норма выработка
Расчет параметров регрессионной
модели













Регрессионная
статистика


Множественный
R
0.987


R-квадрат
0.973


Нормированный
R-квадрат
0.968


Стандартная
ошибка
191.728


Наблюдения
32




Из данной таблицы видно, что связь
между результирующим показателем и факторами, влияющими на него довольно тесная
(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что
данные факторы объясняют зависимый показатель ≈ на 98% (коэффициент
детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ



















df
SS
MS
F
Значимость F


Регрессия
5
35004128.889
7000825.778
190.449
1.28667E — 19


Остаток
26
955747.986
36759.538


Итого
31
35959876.875






































Коэффициенты
Стандартная
ошибка
t-статистика
P-Значение


Y-пересечение
1474.909
477.841
3.087
0.005


Выполнение
норм выработки, %
0.206
3.963
0.052
0.959


Удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, %
 — 300.376
75.323
 — 3.988
0.000


Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов, руб/чел
2.483
0.295
8.429
0.000


Электровооруженность
труда рабочего, кВтчас/чел
0.569
0.152
3.743
0.001


Удельный вес
обновленных основных фондов, %
 — 0.680
12.887
 — 0.053
0.958



Проверим статистическую значимость
параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели
считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В нашем случае t табличное = 2,056 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений –
количество факторов –1 = 32-5-1=26. Таким образом получаем, что
— t выполнения норм выработки < t табличного 
0,052 < 2,056, поэтому данный
фактор исключаем из модели, т.к. значение этого фактора наиболее статистически
не значимо, по сравнению с другими факторами. 
— t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t табличного
| — 3,988|> 2,056, поэтому данный фактор надежный
— t вооруженности рабочего активной частью основных фондов >
t табличного
8,429 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
— t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,743 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
— t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного
| — 0,053|<2,056, поэтому данный
фактор ненадежный. 
Исключив выполнение норм выработки,
мы получаем следующие результаты













Регрессионная
статистика


Множественный
R
0,987


R-квадрат
0,973


Нормированный
R-квадрат
0,969


Стандартная
ошибка
188,153


Наблюдения
32




Из данной таблицы видно, что связь
между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная
(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что
данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98%
(коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ



















df
SS
MS
F
Значимость F


Регрессия
4
35004029,967
8751007,492
247,191
7,62398E — 21


Остаток
27
955846,908
35401,737


Итого
31
35959876,875

































Коэффициенты
Стандартная
ошибка
t-статистика
P-Значение


Y-пересечение
1491,715
344,700
4,328
0,0002


Удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, %
 — 301,202
72,248
 — 4,169
0,0003


Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов, руб/чел
2,491
0,243
10,230
0,0000


Электровооруженность
труда рабочего, кВтчас/чел
0,568
0,149
3,817
0,0007


Удельный вес
обновленных основных фондов, %
 — 0,347
10,966
 — 0,032
0,9750



Проверим статистическую значимость
параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели
считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В этом случае t табличное = 2,052 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений –
количество факторов –1 = 32-4-1=27. Таким образом получаем, что
— t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t
табличного
| — 4,169|> 2,052, поэтому данный
фактор надежный
— t вооруженности рабочего активной частью основных фондов >
t табличного
10,230 > 2,052, поэтому данный
фактор надежный
— t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,817 > 2,052, поэтому данный
фактор надежный
— t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного
| — 0,032|<2,052, поэтому данный
фактор исключаем из модели. 
Исключив удельный вес обновленных
основных фондов, мы получаем следующие результаты













Регрессионная
статистика


Множественный
R
0,987


R-квадрат
0,973


Нормированный
R-квадрат
0,971


Стандартная
ошибка
184,766


Наблюдения
32




Из данной таблицы видно, что связь
между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная
(коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что
данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98%
(коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ











































df
SS
MS
F
Значимость F


Регрессия
3
35003994,574
11667998,191
341,783
3,76386E — 22


Остаток
28
955882,301
34138,654


Итого
31
35959876,875


Коэффициенты
Стандартная
ошибка
t-статистика
P-Значение


Y-пересечение
1494,197
329,602
4,533
0,000099


Удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, %
 — 301,747
68,898
 — 4,380
0,000151


Вооруженность
рабочего активной частью основных фондов, руб/чел
2,491
0,239
10,430
0,000000


Электровооруженность
труда рабочего, кВтчас/чел
0,566
0,132
4,299
0,000187



Уровень значимости у обоих факторов
меньше 0,05.
Получаем следующую модель
X0=1494,197-301,747×2+2,491×3+0,566×4
Проверим полученную
модель на надежность с помощью критерия Фишера. В нашем случае Fрасч.= 341,783, а Fтабл.=2,947,
поэтому данная модель является надежной (Fрасч>Fтабл).
Для оценки качества регрессии
рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации









































































































































































Наблюдение
Предсказанное выработка
рабочего, млн.руб.
Остатки
Выработка
рабочего, (млн.руб.) фактич
Отн погреш


1
3960,03
 — 269,03
3691,00
0,07


2
3442,05
273,95
3716,00
0,07


3
3905,43
 — 140,43
3765,00
0,04


4
4186,50
 — 167,50
4019,00
0,04


5
4237,83
15,17
4253,00
0,00


6
4201,88
61,12
4263,00
0,01


7
4364,52
 — 77,52
4287,00
0,02


8
4631,87
 — 158,87
4473,00
0,04


9
4549,11
19,89
4569,00
0,00


10
4777,32
 — 180,32
4597,00
0,04


11
4824,86
 — 176,86
4648,00
0,04


12
5180,78
 — 40,78
5140,00
0,01


13
5200,13
18,87
5219,00
0,00


14
5020,98
231,02
5252,00
0,04


15
5446,69
 — 168,69
5278,00
0,03


16
5151,89
130,11
5282,00
0,02


17
5321,41
43,59
5365,00
0,01


18
5404,72
 — 38,72
5366,00
0,01


19
5398,77
111,23
5510,00
0,02


20
5391,17
143,83
5535,00
0,03


21
5748,79
 — 130,79
5618,00
0,02


22
5326,94
355,06
5682,00
0,06


23
5577,32
176,68
5754,00
0,03


24
6048,86
 — 52,86
5996,00
0,01


25
6311,85
 — 212,85
6099,00
0,03


26
6099,09
8,91
6108,00
0,00


27
6270,27
359,73
6630,00
0,05


28
6653,02
97,98
6751,00
0,01


29
6810,74
15,26
6826,00
0,00


30
7123,60
98,40
7222,00
0,01


31
7722,25
 — 388,25
7334,00
0,05


32
7555,35
42,65
7598,00
0,01


0,86


Средняя
относительная ошибка аппроксимации
2,679



В нашем случае, ошибка аппроксимации (έ)
равна:
έ= (0,86/32)*100%=2,68%
Так как средняя ошибка аппроксимации
допускается не более 10%, то точность нашей модели можно считать приемлемой.
Анализ результатов моделирования
Итак, в нашем случае, получилось
следующие уравнение регрессии в натуральном масштабе
X0=1494,197-301,747×2+2,491×3+0,566×4
Анализируя его, мы можем сделать
следующие выводы:
· 
если удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 %, а вооруженность рабочего
активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся
на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 301,747 млн. руб.
· 
если вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 руб./чел., а удельный
вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего
оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 2,491 млн. руб.
· 
если
электровооруженность труда рабочего увеличить на 1 кВтчас/чел, а удельный вес
рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных
фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,566
млн. руб.
Рассчитаем уравнение регрессии в
стандартизованном масштабе:
β2= — 301,75*(0,87/1077,03)= — 0,242 β3=2,49*(273,33/ 1077,03)= 0,632
β4=0,57*(358,26/1077,03)=0,188
Уравнение регрессии в
стандартизованном масштабе имеет следующий вид
t0= — 0,242t2+0,632t3+0,188t4
Это значит, что:
· 
если удельныйвес
рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 его стандартное отклонение, а вооруженность
рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего
останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,242σ.
· 
если вооруженность
рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 его стандартного
отклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность
труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,632
σ. 
· 
если
электровооруженность труда рабочего увелечить на 1 его стандартного отклонения,
а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной
частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увелечится
на 0,188 σ.
Рассчитаем коэффициенты эластичности
Э2= — 301,75*(0,28/5370,19)= — 0,016 и Э3=2,49*(1028,09/5370,19)=0,477
Э4= 0,57*(2474/5370,19)= 0,261
из этого следует, что:
· 
если удельныйвес
рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1%, а вооруженность рабочего
активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся
на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,016%.
· 
если
вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на %, а
удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда
рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,477%.
· 
если
электровооруженность труда рабочего увеличить на 1%, а удельный вес рабочих,
невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов
оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,261%.