Федеральное агентство по образованию
Всероссийский заочный финансово-экономический
институт
Контрольная работа
по дисциплине «Эконометрика»
Архангельск
2008
Условие задачи
По предприятиям лёгкой
промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема
выпуска продукции (Y, млн. руб.) от
объема капиталовложений (X, млн.
руб.).
Требуется:
1. Найти параметры
уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента
регрессии.
2. Вычислить остатки;
найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков  ; построить график
остатков.
3. Проверить выполнение
предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку
значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05). 
5. Вычислить коэффициент
детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти
среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить
прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение
фактора X составляет 80% от его максимального
значения.
7. Представить графически
фактические и модельные значения Y
точки прогноза.
8. Составить уравнения
нелинейной регрессии:
· 
Гиперболической;
· 
Степенной;
· 
Показательной.
Привести графики
построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей
найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние
относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и
сделать вывод.

Х	17	22	10	7	12	21	14	7	20	3
Y	26	27	22	19	21	26	20	15	30	13

регрессия
уравнение стьюдент фишер аппроксимация

Решение задачи.

1. Найти параметры
уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента
регрессии.

Для нахождения параметров
уравнения линейной регрессии  решим систему нормальных уравнений:

n=10

Найдём параметры
уравнения линейной регрессии, используя надстройку «Мастер диаграмм» в Excel, тип диаграммы – точечная, выделяем
столбцы (А1:В11), выбираем команду «Добавить линию тренда», выбираем 2
последние команды:

— показывать уравнение на
диаграмме;

— поместить на диаграмму
величину достоверности аппроксимации.

Общий вид уравнения
регрессии имеет вид:

коэффициент регрессии.

Величина коэффициента
регрессии ( ) показывает, на сколько в
среднем изменяется значение результата с изменением фактора на 1 единицу. Т.о в
нашем случае, с увеличением объема капиталовложений (Х) на 1 млн.руб. объём
выпуска продукции (У) возрастает в среднем на 0,761 млн.руб. (рис. 1).

X	Y
17	26
22	27
10	22
7	19
12	21
21	26
14	20
7	15
20	30
3	13
а0=11,781
а1=0,761

Рис. 1

2. Вычислить остатки;
найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков . Построить график
остатков.

Вычислим остатки по
формуле:

Оценка дисперсии
остатков:

По следующим данным
строим график остатков (рис. 2):

Y	Е(t)
26	1,282
27	— 1,523
22	2,609
19	1,892
21	0,087
26	— 1,762
20	— 2,435
15	— 2,108
30	2,999
13	— 1,064

Рис. 2

3. Проверить
выполнение предпосылок МНК.

1. Случайный характер
остатков (критерий поворотных точек, критерий пиков):

,

где n- количество наблюдений;

m – количество поворотных точек
(пиков).

Точка считается
поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).

 является поворотной точкой

 является поворотной точкой

 не является поворотной точкой

 не является поворотной точкой

 не является поворотной точкой

 является поворотной точкой

 не является поворотной точкой

 является поворотной точкой.

m=4

m=4>2, следовательно неравенство
выполняется, свойство выполняется.

2. Независимость
значений остатков (отсутствие автокорреляции). Критерий Дарбина-Уотсона.

 

x	y
17	26	24,718	1,282	1,6435	*
22	27	28,523	— 1,523	2,3195	7,8680
10	22	19,391	2,609	6,8069	17,0734
7	19	17,108	1,892	3,5797	0,5141
12	21	20,913	0,087	0,0076	3,2580
21	26	27,762	— 1,762	3,1046	3,4188
14	20	22,435	— 2,435	5,9292	0,4529
7	15	17,108	— 2,108	4,4437	0,1069
20	30	27,001	2,999	8,9940	26,0814
3	13	14,064	— 1,064	1,1321	16,5080
133	219	*	— 0,023	37,9608	75,2816

 сравниваем с двумя табличными:

, следовательно, свойство
выполняется, остатки независимы.

3. Подчинение остатков
нормальному закону (R/S критерий).

Расчётный критерий
сравниваем с двумя табличными, если расчётный критерий попадает внутрь
табличного интервала, то свойство выполняется.

 (2,67;3,57)

1,216 < 2,67,
следовательно, свойство не выполняется, остатки не подчинены нормальному
закону.

4. Проверка равенства
М(Е)=0, средняя величина остатков равна 0 (критерий Стьюдента).

Если  < , то свойство выполняется.

2,2281

, следовательно, свойство
выполняется.

5. Гомоскедастичность
остатков, то есть
дисперсия остатков ( ) одинаково для
каждого значения (остатки имеют
постоянную дисперсию).

Если дисперсия остатков
неодинакова, то имеет место гетероскедастичность.

Если предпосылки не
выполняются, то модель нужно уточнять. Применяем тест Голдфельд-Квандта:

1) 
упорядочить
(ранжировать) наблюдения по мере возрастания фактора «Х».

2) исключить d-средних наблюдений.

,

где n – количество наблюдений.

2) 
разделить
совокупность на две группы: с малыми и большими значениями «Х» и для каждой из
частей найти уравнение регрессии.

3) 
найти остаточную
сумму квадратов отклонений ( ) для
каждого уравнения регрессии.

4) 
применяют
критерий Фишера:

 

Если , то гетероскедастичность
имеет место, то есть пятая предпосылка не выполняется.

Упорядочим наблюдениям по
мере возрастания переменной Х:

X	Y
3	13
7	19
7	15
10	22
12	21
14	20
17	22
20	30
21	26
22	27

X5=12; Y5=21 и Х6=14; Y6=20
исключаем.

; n=10

x	y
3	13	9	12,517	0,483	0,2333
7	19	49	17,569	1,431	2,0478
7	15	49	17,569	— 2,569	6,5998
10	22	100	21,358	0,642	0,4122
27	69	207	*	— 0,013	9,2930

n=4

x	y
17	22	289	23,25	— 1,25	1,5625
20	30	400	26,25	3,75	14,0625
21	26	441	27,25	— 1,25	1,5625
22	27	484	28,25	— 1,25	4,5625
80	105	1614	*	0	18,75

n=4

, так как

, значит, пятая предпосылка выполняется,
следовательно, модель нужно адекватна.

4. Осуществить
проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

;

x	y
17	26	289	24,718	1,282	1,6435	13,69
22	27	484	28,523	— 1,523	2,3195	75,69
10	22	100	19,391	2,609	6,8069	1,89
7	19	49	17,108	1,892	3,5797	39,9
12	21	144	20,913	0,087	0,0076	1,69
21	26	441	27,762	— 1,762	3,1046	59,29
14	20	196	22,435	— 2,435	5,9292	0,49
7	15	49	17,108	— 2,108	4,4437	39,69
20	30	400	27,001	2,999	8,9940	44,89
3	13	9	14,064	— 1,064	1,1321	106,09
133	219	2161	*	— 0,023	37,9608	392,1

 

, следовательно, параметр  значим.

 

, следовательно, коэффициент
регрессии значим.

Интервальная оценка:

 

а0: 11,781  2,31*1,617

а0: 11,781  3,735

Нижняя граница: 11,781-3,735=8,046

Верхняя граница: 11,781+3,735=15,516

а0: (8,046 15,516), следовательно,
параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0.

а1: 0,761  2,31*0,11

а1: 0,761 0,2541

Нижняя граница: 0,761-0,254=0,507

Верхняя граница: 0,761+0,254=1,015

а1: (0,507 1,015), следовательно,
коэффициент регрессии а1 значим, так как в эти границы не попадает 0.

5. Вычислить
коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти
среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Для нахождения
коэффициента детерминации найдём коэффициент парной корреляции:

Проверяем значимость по критерию Стьюдента:

, следовательно, значим.

=0,926, то есть связь между
переменными y и x очень тесная (то есть близко к 1) и прямая (так как больше
0).

Находим коэффициент
детерминации:

, то есть 85,8% — изменение объёма
выпуска продукции (зависимой переменной «y») происходит под влиянием объёма капиталовложений (фактора
«х», включённого в модель).

Значимость уравнения
регрессии по критерию Фишера:

, следовательно, уравнение регрессии
значимо, модель адекватна.

Средняя относительная
ошибка аппроксимации:

x	y
17	26	24,718	1,282	0,0493
22	27	28,523	— 1,523	0,0564
10	22	19,391	2,609	0,1186
7	19	17,108	1,892	0,0996
12	21	20,913	0,087	0,0041
21	26	27,762	— 1,762	0,0678
14	20	22,435	— 2,435	0,1218
7	15	17,108	— 2,108	0,1405
20	30	27,001	2,999	0,1000
3	13	14,064	— 1,064	0,0818
133	219	*	— 0,023	0,7332

Так как , значит модель не достаточно
точная.

F-критерий
намного больше табличного значения, коэффициент детерминации  очень близок к 1, а
относительная ошибка аппроксимации составляет 7,33%. На основании рассчитанных
критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.

6.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение
фактора X составляет 80% от его максимального
значения.

— прогноз факторного признака (объема капиталовложений).

 — точечный прогноз.

(17,6; 25,2) – точка
должна лежать на графике модели.

Интервальный прогноз:

 

25,2 1,86 1,81

25,2 3,37

Нижняя граница: 25,2-3,37=21,83

Верхняя граница: 25,2+3,37=28,57

То есть при уровне
значимости =0,1, если прогнозное
значение фактора «Х» составит 80% от его максимального значения или 17,6,
точечный прогноз среднего значения «Y» по линейной модели составит 25,2. Доверительный интервал: 21,83 28,57.

7. Представить
графически фактические и модельные значения Y точки прогноза рис. 3.

Рис. 3

8. Составить уравнения
нелинейной регрессии:

· 
Гиперболической;

· 
Степенной;

· 
Показательной.

Привести графики
построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных
моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние
относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и
сделать вывод.

Уравнение степенной
модели парной регрессии:

Для построения этой
модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём
логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим , , . Тогда уравнение примет
вид — линейное уравнение
регрессии.

Рассчитаем его параметры
(см. приложение).

Получим уравнение
степенной модели регрессии:

Построим график (рис. 4):

Рис. 4

Определим коэффициент
корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 57,5%
объясняется вариацией фактора X
(объёмом капиталовложений).

Средняя относительная
ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные
значения  для степенной модели
отличаются от фактических значений на 14,6%.

Коэффициент эластичности
для степенной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить
на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,16%.

Уравнение
показательной модели парной регрессии:

Для построения этой
модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим
логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим , , . Тогда уравнение примет
вид — линейное уравнение
регрессии.

Рассчитаем его параметры.

Перейдём к исходным
переменным x и y.

 

Построим график (рис. 5):

Рис. 5

Определим индекс
корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно считать достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 82,9%
объясняется вариацией фактора X
(объёмом капиталовложений).

Средняя относительная
ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные
значения  для степенной модели
отличаются от фактических значений на 9,5%.

Коэффициент эластичности
для показательной модели регрессии:

, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить
на 1%, то значение зависимой переменной Y (объём выпуска продукции) увеличится в среднем на 0,49%.

Уравнение
гиперболической модели парной регрессии:

Произведём линеаризацию
модели путём замены .

В результате получим
линейное уравнение:

Рассчитаем его параметры.

Получим следующее
уравнение гиперболической модели:

Построим график (рис. 6):

Рис. 6

Определим индекс
корреляции:

Связь между показателем y и фактором x можно достаточно тесной.

Коэффициент детерминации:

 

Вариация результата Y (объёма выпуска продукции) на 67,2%
объясняется вариацией фактора X
(объёмом капиталовложений).

Средняя относительная
ошибка аппроксимации:

В среднем расчётные
значения  для степенной модели
отличаются от фактических значений на 12,46%.

Коэффициент эластичности
для гиперболической модели регрессии:

%, значит, если фактор X (объём капиталовложений) увеличить на 1%, то значение
зависимой переменной Y (объём выпуска
продукции) увеличится в среднем на 0,18%.

Сравним модели по
коэффициенту детерминации, коэффициенту эластичности и средней относительной
ошибке аппроксимации:

Модель парной регрессии	Критерий
Степенная	0,575	14,6%	0,16%
Показательная	0,829	9,5%	0,49%
Гиперболическая	0,672	12,5%	0,18%

Самое хорошее качество
имеет показательная модель. Коэффициент детерминации наиболее близок к 1
(вариация объёма капиталовложений на 82,9% объясняет вариацию объёма выпуска
продукции), наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации S=9,5% и среднее значение коэффициента
эластичности .