МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИСанкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроенияСТАТИСТИКА
Выборочные наблюдения
Методические указания к практическим занятиям
Санкт-Петербург
1999
Составитель Н.А. Богородская
Рецензент кандидат экономических наук доцент Л.Г.ФетисоваМетодические указания к практическим занятиям предназначены для
студентов, изучающих дисциплину «Статистика», обучающихся по направлению и
специальности 521500 и 061100 «Менеджмент» и по экономическим
специальностям и направлениям 071900, 060400, 060500, 522300 всех форм
обучения.
В работе приведены методические указания к решению задач по теме
«Выборочные наблюдения» и рассмотрены примеры решения задач для различных
видов отбора: механического, собственно-случайного, серийного и типического
при повторной и бесповторной выборке единиц из статистической совокупности.С
Санкт-Петербургскийгосударственный университет
аэрокосмического
приборостроения, 1999
Лицензия ЛР №020341 от 07.05.97
Подписано к печати Формат 60(84 1/16 Бумага
тип. № 3.
Печать офсетная. Усл.печ.л. 1,86 Уч.-изд.л. 2,0 Тираж
100 экз. Заказ №Редакционно-издательский отдел
Отдел оперативной полиграфии
СПбГУАП
190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 671. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ВЫБОРОЧНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ»
1.1. Выборочное исследование
При статистическом исследовании экономических явлений могут
применяться выборочные наблюдения, при которых характеристики генеральной
совокупности получаются на основании изучения части генеральной
совокупности, называемой выборочной совокупностью или выборкой.
Выборочное наблюдение (выборочное исследование) заключается в
обследовании определенного числа единиц совокупности, отобранного, как
правило, случайным образом. При выборочном методе обследованию подлежит
сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5–10%,
реже до 15–20%). Отбор единиц из генеральной совокупности производится
таким образом, чтобы выборочная совокупность была представительна
(репрезентативна) и характеризовала генеральную совокупность. Степень
представительности выборки зависит от способа организации выборки и от ее
объема. Полной репрезентативности выборки достичь не удается. Поэтому
необходима оценка надежности результатов выборки и возможности их
распространения на генеральную совокупность.
В основе теории выборочного наблюдения лежат теоремы законов
больших чисел, которые позволяют решить два взаимосвязанных вопроса
выборки: рассчитать ее объем при заданной точности исследования и
определить ошибку при данном объеме выборки.
При использовании выборочного метода обычно используются два вида
обобщающих показателей: относительную величину альтернативного признака и
среднюю величину количественного признака.
Относительная величина альтернативного признака характеризует долю
(удельный вес) единиц в статистической совокупности, обладающих изучаемым
признаком. В генеральной совокупности эта доля единиц называется
генеральной долей (p), а в выборочной совокупности – выборочной долей (w).
Средняя величина количественного признака в генеральной совокупности
называется генеральной средней ( [pic]), а в выборочной совокупности –
выборочной средней ([pic]).1.2. Виды отбора при выборочном наблюдении
Процесс образования выборки называется отбором, который осуществляется
в порядке беспристрастного, случайного отбора единиц из генеральной
совокупности.
Существуют различные способы отбора: индивидуальный, групповой
(серийный), комбинированный, повторный (возвратный), бесповторный
(безвозвратный), одноступенчатый, многоступенчатый, собственно-случай-ный,
механический и типический отбор.
При индивидуальном отборе в выборку отбираются отдельные единицы
совокупности. Отбор повторяется столько раз, сколько необходимо отобрать
единиц.
Групповой (серийный) отбор заключается в отборе серий (например,
отбор изделий для проверки их целыми партиями). Если обследованию
подвергаются все единицы отобранных серий, отбор называется серийным, а
если обследуется только часть единиц каждой серии, отбираемых в
индивидуальным порядке из серии, то – комбинированным.
Если в процессе отбора отобранная единица не исключается из
совокупности, т.е. возвращается в совокупность, и может быть повторно
отобранной, то такой отбор называется повторным или возвратным, в противном
случае – бесповторным или безвозвратным. Серийный отбор, как правило,
безвозвратный.
При одноступенчатом отбираются единицы совокупности (или серии)
непосредственно для наблюдения. При многоступенчатом отбираются сначала
крупные серии единиц (первая ступень отбора), наблюдению они не
подвергаются. Затем из них отбираются серии, меньшие по численности единиц
(вторая ступень), наблюдению не подвергаются, и так до тех пор, пока не
будут отобраны те единицы совокупности (серии), которые будут подвергнуты
наблюдению.
Собственно-случайный отбор состоит в отборе единиц (серий) из всей
генеральной совокупности в целом посредством жеребьевки или на основании
таблиц случайных чисел.
Механический отбор заключается в том, что составляется список
единиц генеральной совокупности и в зависимости от числа отбираемых единиц
(серий) устанавливается шаг отбора, т.е. через какой интервал следует брать
для наблюдения единицы (серии). Например, в простейшем случае, при 10%–м
отборе, отбирается каждая десятая единица по этому списку, т.е. если первой
взята единица № 1, то следующими отбираются 11–я, 21–я и т.д. В такой
последовательности производится отбор, если единицы совокупности
расположены в списке без учета их “рангов”, т.е. значимости по изучаемым
признакам. Начало отбора в этом случае не имеет значения, его можно начать
в приведенном примере от любой единицы из первого десятка. При расположении
единиц совокупности в ранжированном порядке за начало отбора должна быть
принята середина интервала (шага отбора) во избежание систематической
ошибки выборки.
При типическом отборе генеральная совокупность разбивается на
типические группы единиц по какому–либо признаку, а затем из каждой из них
производится механический или собственно-случайный отбор. Отбор единиц из
типов производится тремя методами: пропорционально численности единиц
типических групп, непропорционально численности единиц типических групп и
пропорционально колеблемости в группах.1.3. Ошибки выборочного отбора
Расхождение между значениями изучаемого признака выборочной и
генеральной совокупностей является ошибкой репрезентативности
(представи–тельности). Она может быть случайной и систематической.
Случайная возникает в силу того, что выборочное статистическое наблюдение
является несплошным наблюдением, и выборка недостаточно точно воспроизводит
(репрезентирует) генеральную совокупность. При определении величины
репрезентативной ошибки предполагается, что ошибка регистрации равна нулю.
Определение ошибки производится по формулам ошибки выборочной доли и ошибки
выборочной средней.1.3.1. Ошибка выборочной доли
Выборочная доля представляет собой отношение числа единиц,
обладающих данным признаком или данным его значением ( m ), к общему числу
единиц выборочной совокупности ( n )
[pic]
(Эту статистическую характеристику не следует путать с долей выборки,
являющейся отношением числа единиц выборочной совокупности к числу единиц
генеральной совокупности).
Ошибка выборочной доли представляет собой расхождение (разность)
между долей в выборочной совокупности ( w ) и долей в генеральной
совокупности ( p ), возникающее вследствие несплошного характера
наблюдения. Величина ошибки выборочной доли определяется как предел
отклонения w от p , гарантируемый с заданной вероятностью:
[pic]
где [pic] – гарантийный коэффициент, зависящий от вероятности
[pic] , с которой гарантируется невыход разности w –p за пределы
[pic]; [pic] – средняя ошибка выборочной доли.
Значения гарантийного коэффициента [pic] и соответствующие им
вероятности [pic] приведены в табл.1.1. Обычно вероятность принимается
равной 0,9545 или 0,9973, а [pic] при этом равно соответственно 2 и 3.
Значения средней ошибки выборки определяются по формуле
[pic]
где [pic] – дисперсия в генеральной совокупности.
Между дисперсиями в генеральной и выборочной совокупностях
существует следующее соотношение:
[pic]
где [pic]– дисперсия в выборке.
Таблица 1.1
Значения гарантийного коэффициента [pic]|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1,00 |0,6827 |1,70 |0,9109 |2,40 |0,9836 |
|1,10 |0,7287 |1,80 |0,9281 |2,50 |0,9876 |
|1,20 |0,7699 |1,90 |0,9426 |2,60 |0,9907 |
|1,30 |0,8064 |2,00 |0,9545 |2,70 |0,9931 |
|1,40 |0,8385 |2,10 |0,9643 |2,80 |0,9949 |
|1,50 |0,8664 |2,20 |0,9722 |2,90 |0,9963 |
|1,60 |0,8904 |2,30 |0,9786 |3,00 |0,9973 |Если n достаточно велико, то [pic] близко к единице и дисперсию
в генеральной совокупности можно заменить на дисперсию в выборке.
Средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле
[pic]
где [pic] – дисперсия выборочной доли.
Для показателя доли альтернативного признака (выборочной доли)
дисперсия определяется по формуле
[pic]
Приведенная формула средней ошибки выборочной доли применяется при
повторном отборе.
При бесповторном отборе численность генеральной совокупности
сокращается, поэтому дисперсия умножается на коэффициент [pic] Формулы
расчета средних ошибок выборочной доли для различных способов отбора единиц
из генеральной совокупности приведены в табл. 1.2.Таблица 1.2
Формулы расчета средних ошибок выборочной доли
и выборочной средней
|Метод отбора |Средняя ошибка |
|выборки | |
| |выборочной доли |выборочной средней |
|Механический | | |
|и |[pic] |[pic] |
|собственно–сл| | |
|учайный | | |
|повторный | | |
| | | |
|Механический |[pic] |[pic] |
|и | | |
|собственно–сл| | |
|учайный | | |
|бесповторный | | |
|Серийный при |[pic] |[pic] |
|бесповторном | | |
|отборе серий | | |
|Типический | | |
|при повторном|[pic] |[pic] |
|случайном | | |
|отборе внутри| | |
|групп | | |
|Типический | | |
|при |[pic] |[pic] |
|бесповторном | | |
|случайном | | |
|отборе внутри| | |
|групп | | |где N – численность генеральной совокупности;
[pic] – межсерийная дисперсия выборочной доли;
r – число отобранных серий;
R – число серий в генеральной совокупности;
[pic] – средняя из групповых дисперсий выборочной доли;
[pic] – дисперсия признака x ;
[pic] – межсерийная дисперсия выборочных средних;
[pic] – средняя из групповых дисперсий выборочной средней.Дисперсии в формулах расчета средних ошибок выборочной доли в
табл.1.2 определяется следующим образом:
– межсерийная дисперсия выборочной доли
[pic]
где wj – выборочная доля в j -й серии;
[pic] – средняя величина доли во всех сериях;– средняя из групповых дисперсий
[pic]
где wj – выборочная доля в j -й типической группе;
nj – число единиц в j -й типической группе;
k – число типических групп.
Предельное значение ошибки выборочной доли определяется по
следующей формуле:
[pic]
Величина средней ошибки выборочной доли [pic]зависит от доли
изучаемого признака в генеральной совокупности, числа наблюдений и способа
отбора единиц из генеральной совокупности для наблюдения, а величина
предельной ошибки [pic] зависит еще и от величины вероятности [pic], с
которой гарантируются результаты выборочного наблюдения.
Распространение выборочных данных на генеральную совокупность
производится с учетом доверительных интервалов. Доля альтернативного
признака в генеральной совокупности равна[pic]1.3.2. Ошибка выборочной средней
Ошибка выборочной средней представляет собой расхождение
(разность) между выборочной средней [pic] и генеральной средней [pic],
возникающее вследствие несплошного выборочного характера наблюдения.
Величина ошибки выборочной средней определяется как предел отклонения
[pic]от [pic], гарантируемый с заданной вероятностью:
[pic]
где [pic] – средняя ошибка выборочной средней.
При повторном отборе средняя ошибка определяется следующим образом:
[pic]
где [pic] – средняя величина дисперсии количественного признака [pic],
которая рассчитывается по формуле средней арифметической невзвешенной
[pic]или средней арифметической взвешенной
[pic]
где fi – статистический вес.
Формулы расчета средней ошибки выборочной средней для различных
способов отбора выборочной совокупности приведены в табл.1.2.
Межсерийная дисперсия выборочных средних [pic] и средняя из
выборочных дисперсий типических групп [pic] вычисляются следующим образом:
[pic]
где [pic] – среднее значение показателя в j — й серии;
[pic]– дисперсия признака x в j — й типической группе;
nj – число единиц в j — й типической группе.
Предельная ошибка выражается следующим образом:
[pic]
и зависит от вариации изучаемого признака в генеральной совокупности,
объема и доли выборки, способа отбора единиц из генеральной совокупности и
от величины вероятности, с которой гарантируются результаты выборочного
наблюдения.
Средняя величина количественного признака в генеральной
совокупности определяется с учетом предельной ошибки выборочной средней
[pic]4.4. Объем выборки
Определение необходимого объема выборки n основывается на
формулах предельных ошибок выборочной доли и выборочной средней. Например,
для повторного отбора предельные ошибки равны
[pic] [pic]
отсюда объемы выборок для расчета выборочной доли nw и выборочной средней
nx следующие:
[pic] [pic]
Аналогичным образом определяются объемы выборок при различных
способах отбора выборочной совокупности. Для серийного отбора определяется
число отобранных серий. Формулы расчета приведены в табл.1.3.
Таблица 1.3
Формулы расчета объема выборки
| | |
|Метод отбора |Объем выборки или число серий для определения |
|выборки | |
| | | |
| |выборочной доли |выборочной средней |
| | | |
|Механический |[pic] |[pic] |
|и | | |
|собственно–сл| | |
|учайный | | |
|повторный | | |
|Механический | | |
|и |[pic] |[pic] |
|собственно–сл| | |
|учайный | | |
|бесповторный | | |
| | | |
| | | |
|Серийный при |[pic] |[pic] |
|бесповторном | | |
|отборе серий | | |
|Типический | | |
|при повторном|[pic] |[pic] |
|случайном | | |
|отборе внутри| | |
|групп | | |
|Типический | | |
|при |[pic] |[pic] |
|бесповторном | | |
|случайном | | |
|отборе внутри| | |
|групп | | |где nw, nx – объемы выборок соответственно для определения ошибок
выборочной доли и выборочной средней;
rw, rx – число отобранных серий соответственно для определения
ошибок выборочной доли и выборочной средней;
[pic] – предельные ошибки соответственно выборочной доли и выборочной
средней.
